【題目】某化工廠擬建一個下部為圓柱，上部為半球的容器（如圖，圓柱高為h，半徑為r，不計厚度，單位：米），按計劃容積為72π立方米，且h≥2r，假設其建造費用僅與表面積有關（圓柱底部不計），已知圓柱部分每平方米的費用為2千元，半球部分每平方米4千元，設該容器的建造費用為y千元．

（Ⅰ）求y關于r的函數(shù)關系，并求其定義域；
（Ⅱ）求建造費用最小時的r．

【答案】解：（Ⅰ）由容積為72π立方米，得 ．

，解得0＜r≤3

又圓柱的側(cè)面積為 ，

半球的表面積為2πr2，

所以建造費用 ，定義域為（0，3]．

（Ⅱ） ，…（8分）

又0＜r≤3，所以y'≤0，所以建造費用 ，

在定義域（0，3]上單調(diào)遞減，所以當r=3時建造費用最小


【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意由圓柱的體積可求出r的取值范圍，再利用幾何體的表面積等于圓柱的側(cè)面積加上半球的表面積進而得到建造費用的函數(shù)解析式。（Ⅱ）利用求導函數(shù)的增減性而得到該函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最值。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)的定義域為，求的取值范圍；

（2）設函數(shù)，若對任意，總有，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四面體中， 平面， ， ， ， .

（Ⅰ）求四面體的四個面的面積中，最大的面積是多少？

（Ⅱ）證明：在線段上存在點，使得，并求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，一塊形狀為四棱柱的木料， 分別為的中點.

（1）要經(jīng)過和將木料鋸開，在木料上底面內(nèi)應怎樣畫線？請說明理由；

（2）若底面是邊長為2的菱形， ， 平面，且，求幾何體的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)對任意實數(shù)均有，其中常數(shù)為負數(shù)，且在區(qū)間上有表達式.

(1)寫出在上的表達式，并寫出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間(不用過程，直接寫出即可)；

(2)求出在上的最小值與最大值，并求出相應的自變量的取值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知關于的函數(shù)為上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值為10. 設．

⑴ 求函數(shù)的解析式；

⑵ 若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

⑶ 是否存在實數(shù)，使得關于的方程有四個不相等的實 數(shù)根？如果存在，求出實數(shù)的范圍，如果不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某同學參加學校自主招生3門課程的考試，假設該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績概率為 ，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q（p＜q），且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立，記ξ為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為

ξ

0

1

2

3

p

x

y

（Ⅰ）求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率及求p，q的值；
（Ⅱ）求該生取得優(yōu)秀成績課程門數(shù)的數(shù)學期望Eξ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】直三棱柱中， ， ， ，點是線段上的動點.

（1）當點是的中點時，求證： 平面；

（2）線段上是否存在點，使得平面平面？若存在，試求出的長度；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且A＞B＞C，3b=20acos A，則sin A：sin B：sin C為 ．

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