Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-3x|x|+bx+c，則下列命題中正確命題的序號(hào)是

②③⑤

．
①當(dāng)b＜0時(shí)，f（x）在R上有最大值；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱；
③方程f（x）=0可能有3個(gè)實(shí)根；
④存在b，c的值，使f（x）為偶函數(shù)；
⑤一定存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞減．

Answer 1

分析：取b=-1，c=0，得f（x）=-3x|x|-x，此時(shí)函數(shù)沒(méi)有最大值，故①錯(cuò)；利用函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的定義，可以證出②正確；取b=3，c=0，得f（x）=-3x|x|+3x=0的根剛好3個(gè)，故③正確；利用奇偶性的定義，可以證出④錯(cuò)；最后取b=-1，c=0，得f（x）=-3x|x|-x，此時(shí)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞減，得到⑤正確．

解答：解：對(duì)于①，b＜0，可設(shè)b=-1，c=0，得f（x）=-3x|x|-x，此時(shí)函數(shù)為R上的減函數(shù)，沒(méi)有最大值，故①錯(cuò)；
對(duì)于②，因?yàn)閒（-x）=3x|x|-bx+c，所以f（-x）+f（x）=2c，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱，故②正確；
對(duì)于③，可設(shè)b=3，c=0，得f（x）=-3x|x|+3x，方程f（x）=0的根有1、-1和0，剛好3個(gè)．故③正確；
對(duì)于④，設(shè)f（-x）=f（x），即3x|x|-bx+c=-3x|x|+bx+c，找不到b、c的值使此式子恒成立，所以不存在b，c的值，使f（x）為偶函數(shù)，故④錯(cuò)；
對(duì)于⑤，當(dāng)b=-1，c=0時(shí)，f（x）=-3x|x|-x在R上為減函數(shù)，此時(shí)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞減，
故⑤正確．
故答案為：②③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖象的對(duì)稱性和函數(shù)零點(diǎn)與等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．