【題目】如圖,已知BD為圓錐AO底面的直徑,若,C是圓錐底面所在平面內(nèi)一點(diǎn),,且AC與圓錐底面所成角的正弦值為.
(1)求證:平面平面ACD;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
(1)首先找到AC與圓錐底面所成角,求出,可得,結(jié)合圓錐的性質(zhì),可證明平面AOC,進(jìn)而可得平面平面ACD;
(2)解法一:建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ACD的一個法向量和平面ABD的一個法向量,通過夾角公式,可求得兩法向量的夾角,進(jìn)而得到二面角的平面角的余弦值;解法二:過點(diǎn)O作交于F.過F作交DC于H,連接HO,
得為二面角的平面角,通過三角形的邊角關(guān)系求出的余弦.
(1)證明:由及圓錐的性質(zhì),
所以為等邊三角形,圓O所在平面,
所以,是AC與底面所成角,
又AC與底面所成的角的正弦值為,
在中,,,
由,,
在中,,
所以,
圓錐的性質(zhì)可知:圓O所在平面,
因?yàn)?/span>圓O所在平面,所以,
又AO,平面AOC,所以平面AOC,
又平面ACD,
故平面平面ACD;
(2)解法一:在圓O所在平面過點(diǎn)O作BD的垂線交圓O于點(diǎn)E,以O為坐標(biāo)原點(diǎn),OE為x軸,OD為y軸,OA為z軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
由題可知,,,,
由,,
所以,
設(shè)平面ACD的一個法向量為,
因?yàn)?/span>,,
所以
取,則,
平面ABD的一個法向量為,
所以,
二面角的平面角的余弦值為.
解法二:過點(diǎn)O作交于F.過F作交DC于H,連接HO,
所以為二面角的平面角,
在中,因?yàn)?/span>,,
所以,,
因?yàn)?/span>,
所以,即
則,
故C是HD的中點(diǎn),
所以,
在中,,
即,
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,動圓與圓外切,且與直線相切,該動圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程
(2)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),拋物線在點(diǎn)A的切線與交于點(diǎn)N,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方體的棱長為2,分別為的中點(diǎn),則( )
A.直線與直線垂直B.直線與平面平行
C.平面截正方體所得的截面面積為D.點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx.
(1)若a=4,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若x1、x2∈R+,且x1≤x2,求證:(lnx1﹣lnx2)(x1+2x2)≤3(x1﹣x2).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù),且).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若有兩個零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】邊長為的等邊三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊距離之和為定值,則這個定值為;推廣到空間,棱長為的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各面距離之和為___________________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P—ABC中,平面PAC⊥平面ABC,AB=BC,PA⊥PC.點(diǎn)E,F,O分別為線段PA,PB,AC的中點(diǎn),點(diǎn)G是線段CO的中點(diǎn).
(1)求證:FG∥平面EBO;
(2)求證:PA⊥BE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為a,∠D=60°,點(diǎn)H為DC邊中點(diǎn),現(xiàn)以線段AH為折痕將△DAH折起使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置且平面PHA⊥平面ABCH,點(diǎn)E,F分別為AB,AP的中點(diǎn).
(1)求證:平面PBC∥平面EFH;
(2)若三棱錐P﹣EFH的體積等于,求a的值.
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