【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)有唯一零點,求的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)時,求出導(dǎo)函數(shù),求出,將代入到中得到曲線在點處的切線的斜率,求出,然后利用點斜式求出曲線在點處的切線方程.
(Ⅱ)先利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在R上有唯一零點,且函數(shù)在上遞,在上遞增,所以函數(shù) 在 處取得最小值,再根據(jù)函數(shù)有唯一零點可得,然后根據(jù)以及聯(lián)立消去,得到,然后構(gòu)造函數(shù),通過導(dǎo)數(shù)的方法可得有唯一零點,且,最后將代入到可以解得的值.
(Ⅰ)當(dāng)時,.
.
.
又,
曲線在點處的切線方程為,即.
(Ⅱ).
令,則.
,函數(shù)在僅有一個零點.
存在,使得.
即存在滿足時,.
當(dāng),即時,.
在上單調(diào)遞減;
當(dāng),即時,.
在上單調(diào)遞增.
又當(dāng)時,,,;
當(dāng)時,,.
當(dāng)時,,當(dāng)時,.
由題意,函數(shù)有唯一零點時,必有.①
又,②
由①②消去,得.
令.,單調(diào)遞增.
又,
方程有唯一解.
將代入,解得.
當(dāng)函數(shù)有唯一零點時,的值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在新冠肺炎疫情的影響下,南充高中響應(yīng)“停課不停教,停課不停學(xué)”的號召進(jìn)行線上教學(xué),高二年級的甲乙兩個班中,需根據(jù)某次數(shù)學(xué)測試成績選出某班的5名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽決賽,已知這次測試他們?nèi)〉玫某煽兊那o葉圖如圖所示,其中甲班5名學(xué)生成績的平均分是83,乙班5名學(xué)生成績的中位數(shù)是86.
(1)求出x,y的值,且分別求甲乙兩個班中5名學(xué)生成績的方差,并根據(jù)結(jié)
果,你認(rèn)為應(yīng)該選派哪一個班的學(xué)生參加決賽?
(2)從成績在85分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名.求至少有1名來自甲班的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項和為,且,.
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列,且,求實數(shù)的值;
(2)若數(shù)列滿足(),且,求證:是等差數(shù)列;
(3)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,試探究當(dāng)正實數(shù)滿足什么條件時,數(shù)列具有如下性質(zhì):對于任意的(),都存在,使得,寫出你的探究過程,并求出滿足條件的正實數(shù)的集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位:毫克),質(zhì)量值落在的產(chǎn)品為合格品,否則為不合格品.如表是甲流水線樣本頻數(shù)分布表,如圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
產(chǎn)品質(zhì)量/毫克 | 頻數(shù) |
(Ⅰ)以樣本的頻率作為概率,試估計從甲流水線上任取件產(chǎn)品,求其中不合格品的件數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
甲流水線 | 乙流水線 | 總計 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
總計 |
(Ⅱ)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為產(chǎn)品的包裝合格與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)?
(Ⅲ)由乙流水線的頻率分布直方圖可以認(rèn)為乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量服從正態(tài)分布,求質(zhì)量落在上的概率.
參考公式:
參考數(shù)據(jù):
參考公式:
,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓:(),定點,,其中為正實數(shù).
(1)當(dāng)時,判斷直線與圓的位置關(guān)系;
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(3)當(dāng)時,對于線段上的任意一點,若在圓上都存在不同的兩點,使得點是線段的中點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知三棱錐(如圖1)的平面展開圖(如圖2)中,四邊形為邊長為的正方形,△ABE和△BCF均為正三角形,在三棱錐中:
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【題目】已知復(fù)數(shù)z滿足|z|,z的實部大于0,z2的虛部為2.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點,則實數(shù)a的取值范圍是( )
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