Question

【題目】已知函數f（x）= ，（ω＞0），其最小正周期為 ．
（1）求f（x）的表達式；
（2）將函數f（x）的圖象向右平移 個單位，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變），得到函數y=g（x）的圖象，若關于x的方程g（x）+m=0在區(qū)間 上有且只有一個實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：

= ，

由題意知f（x）的最小正周期 ， ，

所以ω=2，

所以 ．

（2）解：將f（x）的圖象向右平移 個單位后，得到y=sin4x的圖象；

再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變），得到y=sinx的圖象，

所以g（x）=sinx，g（x）+m=0在區(qū)間 上有且只有一個實數解，即函數y=g（x）與y=﹣m在區(qū)間 上有且只有一個交點，

由正弦函數的圖象可知 ，

解得 ，

所以實數m的取值范圍是 ．

【解析】（1）利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式可得f（x）= ，由題意及周期公式可求ω的值，即可得解．（2）由函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得g（x）=sinx，在區(qū)間 上有且只有一個實數解，即函數y=g（x）與y=﹣m在區(qū)間 上有且只有一個交點，由正弦函數的圖象可解得實數m的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．