Question

1．已知α，β為銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，x∈R，f（x）=（$\frac{cosα}{sinβ}$）^|x-2|+（$\frac{cosβ}{sinα}$）^|x-2|，則關(guān)于x的不等式f（2x-1）-f（x+1）＞0的解集為（　　）

• A． （-∞，$\frac{4}{3}$）∪（2，+∞）
• B． （$\frac{4}{3}$，2）
• C． （-∞，-$\frac{4}{3}$）∪（2，+∞）
• D． （-$\frac{4}{3}$，2）

Answer 1

分析 由已知α，β為銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，得到cosβ=sin（90°-β）＜sinα，同理cosα＜sinβ，從而得到函數(shù)在（2，+∞）上單調(diào)遞減，在（-∞，2）單調(diào)遞增，利用此單調(diào)性將f（2x-1）-f（x+1）＞0轉(zhuǎn)化為不等式∴|2x-1-2|＜|x+1-2|解之即可．

解答 解：∵α，β為銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，可得α+β＞90°，cosβ=sin（90°-β）＜sinα，同理cosα＜sinβ，
∴f（x）=（$\frac{cosα}{sinβ}$）^|x-2|+（$\frac{cosβ}{sinα}$）^|x-2|，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，在（-∞，2）單調(diào)遞增，
由關(guān)于x的不等式f（2x-1）-f（x+1）＞0得到關(guān)于x的不等式f（2x-1）＞f（x+1），
∴|2x-1-2|＜|x+1-2|即|2x-3|＜|x-1|，化簡(jiǎn)為3x²-1x+8＜0，解得x∈（$\frac{4}{3}$，2）；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)稱(chēng)性的運(yùn)用；關(guān)鍵是由已知得到函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性得到自變量的關(guān)系．