已知函數(shù)f(x)=
mxx2+n
(m,n∈R)
在x=1處取得極值2,
(1)求f(x)的解析式;
(2)設(shè)A是曲線y=f(x)上除原點(diǎn)O外的任意一點(diǎn),過OA的中點(diǎn)且垂直于x軸的直線交曲線于點(diǎn)B,試問:是否存在這樣的點(diǎn)A,使得曲線在點(diǎn)B處的切線與OA平行?若存在,求出點(diǎn)A的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2ax+a,若對(duì)于任意x1∈R的,總存在x2∈[-1,1],使得g(x2)≤f(x1),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)f(x)在x=1處取得極值2列出關(guān)于m,n的方程,求出m,n即可求得f(x)的解析式;
(2)由(1)得f′(x)=
4-4x2
(x2+1)2
,對(duì)于存在性問題,可先假設(shè)存在,即假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)A,再利用曲線在點(diǎn)B處的切線與OA平行,求出點(diǎn)A的坐標(biāo),若出現(xiàn)矛盾,則說明假設(shè)不成立,即不存在;否則存在.
(3)令f'(x)=0,得x=-1或x=1,當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況列成表格:下面對(duì)a進(jìn)行了分類討論:當(dāng)a≤-1時(shí),當(dāng)a≥1時(shí),當(dāng)-1<a<1時(shí),根據(jù)題中條件即可得出a的取值范圍.
解答:解:(1)
∵f(x)=
mx
x2+n
,
∴f′(x)=
m(x2+n)-mx•2x
(x2+n)2
=
mn-mx2
(x2+n)2
(2分)
又f(x)在x=1處取得極值2
f′(1)=0
f(1)=2
m(n-1)
(1+n)2
=0
m
1+n
=2
解得
m=4
n=1
m=0
n=-1
(舍去)
∴f(x)=
4x
x2+1
(4分)
(2)由(1)得f′(x)=
4-4x2
(x2+1)2

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)A,且A(x0
4x0
x
2
0
+1
)
,則kOA=
4
x
2
0
+1
(5分)
f′(
x0
2
)=
4-4(
x0
2
)
2
[(
x0
2
)
2
+1]
2
=
16(4-
x
2
0
)
(
x
2
0
+4)
2

5
x
4
0
=4
x
2
0
,∴
x
2
0
=
4
5
x
 
0
2
5
5
(7分)
所以存在滿足條件的點(diǎn)A,此時(shí)點(diǎn)A是坐標(biāo)為(
2
5
5
,
8
5
9
)
(-
2
5
5
,-
8
5
9
)
(8分)
(3)f′(x)=
-4(x+1)(x-1)
(x2+1)2
,令f'(x)=0,得x=-1或x=1
當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減
∴f(x)在x=-1處取得極小值f(-1)=-2,在x=1處取得極大值f(1)=2
又∵x>0時(shí),f(x)>0,∴f(x)的最小值為-2(10分)∵對(duì)于任意的x1∈R,總存在x2∈[-1,1],使得g(x2)≤f(x1)∴當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),g(x)最小值不大于-2
又g(x)=x2-2ax+a=(x-a)2+a-a2
當(dāng)a≤-1時(shí),g(x)的最小值為g(-1)=1+3a,由1+3a≤-2
得a≤-1(11分)
當(dāng)a≥1時(shí),g(x)最小值為g(1)=1-a,由1-a≤-2,得a≥3
當(dāng)-1<a<1時(shí),g(x)的最小值為g(a)=a-a2
由a-a2≤-2,得a≤-1或a≥2,又-1<a<1,
所以此時(shí)a不存在.(12分)
綜上,a的取值范圍是(-∞,-1]∪[3,+∞)(13分).
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m-
22x+1
是R上的奇函數(shù),
(1)求m的值;
(2)先判斷f(x)的單調(diào)性,再證明之.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•湘潭三模)已知函數(shù)f(x)=(m+
1
m
)lnx+
1
x
-x
,(其中常數(shù)m>0)
(1)當(dāng)m=2時(shí),求f(x)的極大值;
(2)試討論f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性;
(3)當(dāng)m∈[3,+∞)時(shí),曲線y=f(x)上總存在相異兩點(diǎn)P(x1,f(x1))、Q(x2,f(x2)),使得曲線y=f(x)在點(diǎn)P、Q處的切線互相平行,求x1+x2的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m-
1
1+ax
(a>0且a≠1,m∈R)
是奇函數(shù).
(1)求m的值.
(2)當(dāng)a=2時(shí),解不等式0<f(x2-x-2)<
1
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
m•3x-1
3x+1
是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若x滿足不等式4x+
1
2
-5•2x+1+8≤0
,求此時(shí)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m(sinx+cosx)4+
1
2
cos4x
x∈[0,
π
2
]
時(shí)有最大值為
7
2
,則實(shí)數(shù)m的值為
 

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