已知函數(shù)f(x)=m(sinx+cosx)4+
1
2
cos4x在x∈[0，
π
2
]時有最大值為
7
2
，則實數(shù)m的值為
 
．
分析：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及二倍角公式化簡函數(shù)f(x)=m(sinx+cosx)4+
1
2
cos4x二次函數(shù)，通過m的取值分別求出函數(shù)的最大值時m的值，即可得到結(jié)果．
解答：解：函數(shù)f(x)=m(sinx+cosx)4+
1
2
cos4x
=m（1+2sinxcosx）2+
1
2
cos4x
=m（1+2sin2x+six22x）+
1
2
（1-2sin22x）
=（m-1）sin22x+2msin2x+m+
1
2
．
①當(dāng)m=1時，函數(shù)化為：2sin2x+1+
1
2
．當(dāng)sin2x=1時，函數(shù)取得最大值，2+1+
1
2
=
7
2
．滿足題意．
②當(dāng)m＞1時，函數(shù)化為：（m-1）（sin2x+
m
m-1
）2+
1
2
-
m
m-1
，當(dāng)sin2x=1時，函數(shù)取得最大值，
可得m-1+2m+m+
1
2
=
7
2
，解得m=1，不滿足題意．
③當(dāng)m≤
1
2
時，
m
m-1
∈[-1，1]，當(dāng)sin2x=-
m
m-1
時，函數(shù)取得最大值，此時
1
2
-
m
m-1
=
7
2
，解得m=
3
4
，不滿足題意．
④當(dāng)
1
2
＜m＜1時，sin2x=1時函數(shù)取得最大值，此時有m-1+2m+m+
1
2
=
7
2
，解得m=1不滿足題意．
綜上，m=1．
故答案為：1．
點評：本題考查三角函數(shù)的最值的應(yīng)用，分類討論思想的應(yīng)用，考查計算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=m-
22x+1
是R上的奇函數(shù)，
（1）求m的值；
（2）先判斷f（x）的單調(diào)性，再證明之．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湘潭三模）已知函數(shù)f(x)=(m+
1
m
)lnx+
1
x
-x，（其中常數(shù)m＞0）
（1）當(dāng)m=2時，求f（x）的極大值；
（2）試討論f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)m∈[3，+∞）時，曲線y=f（x）上總存在相異兩點P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲線y=f（x）在點P、Q處的切線互相平行，求x1+x2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=m-
1
1+ax
(a＞0且a≠1，m∈R)是奇函數(shù)．
（1）求m的值．
（2）當(dāng)a=2時，解不等式0＜f(x2-x-2)＜
1
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
m•3x-1
3x+1
是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）若x滿足不等式4x+
1
2
-5•2x+1+8≤0，求此時f（x）的值域．

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