Question

【題目】已知函數.

（1）設，討論的單調性；

（2）若不等式恒成立，其中為自然對數的底數，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）函數定義域為，由題意得，則，分情況和，由導函數的正負求單調區(qū)間即可；

（2）設函數， ，分易知不成立， ，計算函數的最大值為，由，得，令， ，求最值即可.

試題解析：

（1）函數定義域為，由題意得，則，

①當時， ，則在上單調遞增；

②當時，令，解得，

當時， ， 在上單調遞增，

當時， ， 在上單調遞減.

（2）設函數，其中為自然對數的底數，

∴， ，

當時， ， 在上是增函數，∴不可能恒成立，

當時，由，得,

∵不等式恒成立，∴，

當時， ， 單調遞增，

當時， ， 單調遞減，

∴當時， 取最大值， ，

∴滿足即可，∴，

∴，

令， ，

.

令， ，

由，得，

當時， ， 是增函數，

當時， ， 是減函數，

∴當時， 取最小值，

∵時， ， 時， ， ，

∴當時， ， 是減函數，

當時， ， 是增函數，

∴時， 取最小值， ，

∴的最小值為.