Question

定義F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（1）令函數(shù)g（x）=F（1，log₂（x³+ax²+bx+1））的圖象為曲線C，若存在實數(shù)b使得曲線C在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線，求實數(shù)a的取值范圍
（2）當(dāng)x，y∈^N*且x＜y時，證明F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

分析：（1）先求出g（x）的解析式，設(shè)曲線C在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線，建立等式，根據(jù)log₂（x³+ax²+bx+1）＞0消去b得-2x02-ax₀-8＜0，使得2x²₀+ax₀+8＞0 在-4＜x₀＜-1有解，求出a的取值范圍即可；
（2）令函數(shù)h（x）=

ln(1+x)

x

，求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)，由分母大于0，令分子等于p（x），求出p（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)p（x）導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，判斷p（x）的增減性，進(jìn)而得到p（x）小于0，且得到h（x）導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到h（x）的增減性，利用函數(shù)的增減性即可得證．

解答：解：（1）g（x）=F（1，log₂（x³+ax²+bx+1））=x³+ax²+bx+1，
設(shè)曲線C在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線，
又由題設(shè)知log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，g′（x）=3x²+2ax+b，3x²₀+2ax₀+b=-8  ①
∴存在實數(shù)b使得-4＜x₀＜-1       ②有解，
x³₀+ax²₀+bx₀＞0  ③
由①得b=-8-3x02-2ax₀，代入③得-2x02-ax₀-8＜0，
∴由   2x²₀+ax₀+8＞0 在-4＜x₀＜-1有解，
得2×（-4）²+a×（-4）+8＞0或2×（-1）²+a×（-1）+8＞0，
∴a＜10或a＜10，
∴a＜10
（2）令 h（x）=

ln(1+x)

x

，x≥1，由h′（x）=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
又令 p（x）=

x

1+x

-ln（1+x），x＞0，
∴p′（x）=

1

(1+x)2

-

x

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0，∴p（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x＞0時有p（x）＜p（0）=0，∴當(dāng)x≥1時有h'（x）＜0，∴h（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，
∴1≤x＜y時，有

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，
∴yln（1+x）＞xln（1+y），
∴（1+x）^y＞（1+y）^x，
∴當(dāng)x，y∈N^*且x＜y時，F(xiàn)（x，y）＞F（y，x）．

點評：本題主要考查了學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．