已知M是△ABC內(nèi)的一點(不含邊界),且
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA和△MAB的面積分別為x,y,z.
(1)x+y+z=
 
;
(2)定義f(x,y,z)=
1
x
+
4
y
+
9
z
,則f(x,y,z)的最小值是
 
分析:(1)先根據(jù)向量數(shù)量積的定義求出AB•AC,從而求出△ABC的面積,而△MBC,△MCA和△MAB的面積和即為△ABC的面積,即可求出所求;
(2)先在等式f(x,y,z)=
1
x
+
4
y
+
9
z
兩邊同乘以x+y+z,然后利用均值不等式進行求解即可.
解答:解:(1)
AB
AC
=2
3
=AB•AC•cos30°精英家教網(wǎng)
∴AB•AC=4,S△ABC=
1
2
AB•AC•sin30°=1=x+y+z
(2)∵1=x+y+z
∴f(x,y,z)=
1
x
+
4
y
+
9
z
=(
1
x
+
4
y
+
9
z
)(x+y+z)
=1+4+9+
y
x
+
4x
y
+
z
x
+
9x
z
+
4z
y
+
9y
z

≥14+4+6+12=36,
故答案為:1,36
點評:本題主要考查了向量的應(yīng)用,以及三角形的面積公式,同時考查了均值不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知M是△ABC內(nèi)的一點,且
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA和△MAB的面積分別為
1
2
,x,y,則
1
x
+
4
y
的最小值是( 。
A、20B、18C、16D、9

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知M是△ABC內(nèi)的一點,且
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA,△MAB的面積分別為
1
2
,x,y,則
1
x
+
4
y
的最小值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知M是△ABC內(nèi)的一點,且
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°.定義:f(M)=(x,y,z),其中x,y,z分別為△MBC,△MCA,△MAB的面積,若f(M)=(x,y,
1
2
),則
1
2x
+
2
y
的最小值為
9
9
,此時f(M)=(
(
1
6
,
1
3
,
1
2
)
(
1
6
,
1
3
,
1
2
)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知M是△ABC內(nèi)的一點(不含邊界),且
AB
.
AC
=2
3
∠BAC=30°
,若△MBC,△MCA和△MAB的面積分別為x,y,z,則
1
x+y
+
4
z
的最小值是
9
9

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案