【題目】已知函數(shù) 有極值，且函數(shù)的極值點是的極值點，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（極值點是指函數(shù)取得極值時對應的自變量的值）

（1）求關于的函數(shù)關系式；

（2）當時，若函數(shù)的最小值為，證明： .

【答案】（1）， （2）見解析

【解析】試題分析：（1）先分別求兩函數(shù)極值點，再根據(jù)條件得關于的函數(shù)關系式；最后求自變量取值范圍（2）先研究導函數(shù)零點情況，僅有一個零點，再根據(jù)導函數(shù)符號變化規(guī)律確定最小值，最后再利用導數(shù)求最小值函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性證明不等式

試題解析：（1）因為 ，令，解得.

列表如下.

極小值

所以時， 取得極小值.

因為，

由題意可知，且

所以，

化簡得，

由 ，得.

所以， .

（2）因為 ，

所以

記，則，令，解得.

列表如下.

極小值

所以時， 取得極小值，也是最小值，

此時， .

令，解得.

列表如下.

極小值

所以時， 取得極小值，也是最小值.

所以

.

令，則，

記 ， ，

則， .

因為， ，

所以，所以單調(diào)遞增.

所以，

所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，直線與E交于A、B兩點，且，其中O為原點.

（1）求拋物線E的方程；

（2）點C坐標為，記直線CA、CB的斜率分別為，證明： 為定值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓: 的一個焦點與拋物線的焦點重合，且過點.過點的直線交橢圓于， 兩點， 為橢圓的左頂點.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；

(Ⅱ)求面積的最大值，并求此時直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖， 是平面四邊形的對角線， ， ，且.現(xiàn)在沿所在的直線把折起來，使平面平面，如圖.

（1）求證： 平面；

（2）求點到平面的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義：如果一個數(shù)列從第二項起，后一項與前一項的和相等且為同一常數(shù)，這樣的數(shù)列叫“等和數(shù)列”，這個常數(shù)叫公和．給出下列命題：

①“等和數(shù)列”一定是常數(shù)數(shù)列；

②如果一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是“等和數(shù)列”，則這個數(shù)列一定是常數(shù)列；

③如果一個數(shù)列既是等比數(shù)列又是“等和數(shù)列”，則這個數(shù)列一定是常數(shù)列；

④數(shù)列是“等和數(shù)列”且公和，則其前項之和；

其中，正確的命題為__________．（請?zhí)畛鏊姓_命題的序號）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝x3﹣x2+x，a∈R．

（Ⅰ）當a＝1時，求f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[，2]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

（Ⅲ）當m＜0時，試判斷函數(shù)g（x）＝-其中f′（x）是f（x）的導函數(shù)）是否存在零點，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對某校高三年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表如下，頻率分布直方圖如圖：

分組

頻數(shù)

頻率

[10，15）

10

0.25

[15，20）

24

n

[20，25）

m

p

[25，30）

2

0.05

合計

M

1

（1）求出表中M，p及圖中a的值；

（2）若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間[10，15）內(nèi)的人數(shù)；

（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，且，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)：

（1）如果函數(shù)為偶函數(shù)，求實數(shù)的值，并求此時函數(shù)的最小值；

（2）對滿足，且的任意實數(shù)，證明函數(shù)的圖像經(jīng)過唯一的定點；

（3）如果關于的方程有且只有一個解，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， ， ，平面底面， 為的中點， 是棱上的點， ， ， .

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若異面直線與所成角的余弦值為，求的值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案