Question

已知定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，使得成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界.
下面我們來考慮兩個函數：，.
（Ⅰ）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；
（Ⅱ）若，函數在上的上界是，求的取值范圍；
（Ⅲ）若函數在上是以為上界的有界函數， 求實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）函數在上的值域為，函數在不是有界函數；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）當時，函數，此時可設，由，那么，所以函數可轉化成，易知在上單調遞增，從而可求出值域為；故不存在常數，使成立,所以函數在上不是有界函數
（Ⅱ）先求出在上的最大值與最小值，根據，再確定的大小關系，得出上界范圍；（Ⅲ）函數在上是以為上界的有界函數，則在上恒成立.將問題轉化成而求得.
試題解析：（Ⅰ）當時， 
因為在上遞減，所以，即在的值域為.
故不存在常數，使成立,所以函數在上不是有界函數.
（Ⅱ），∵，  ∴在上遞減，
∴   即
∵，∴，∴，
∴ ，即
（Ⅲ）由題意知，在上恒成立.
，∴ 在上恒成立
∴
設，，， 由得，
設，, 所以在上遞減，在上的最大值為，
又，所以在上遞增，
在上的最小值為.
所以實數的取值范圍為.