Question

把所有正整數按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數表，其中第i行共有2^i-1個正整數，設a_ij（i，j∈N^*）表示位于這個數表中從上往下數第i行，從左往右第j個數．
（1）求a₆₉的值；
（2）用i，j表示a_ij；
（3）記A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），求證：當n≥4時，An＞n+

C

3 n

．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件可知每行的正整數的個數是等比數列，據此可先算出前5行的數分別為1，2，4，8，16總共31個，從而得到a₆₉的值；
（2）觀察已知可得每行的第一個數是以1為首項，以2為公比的等比數列，從而得a_i1=2^i-1，每列的數又構成了以1為公差的等差數列，所以a_ij=2^i-1+j-1，根據該通項判斷300的位置
（3）利用（2）可得a_nn=2^n-1+n-1，用分組求和，即可得到結論．

解答：（1）解：由于第i行有2^i-1個數，前5行共有1+2+4+8+16=31個數
所以第6行的第9個數是正整數的第40個數，a69=25+(9-1)=40…（2分）
（2）解：因為數表中前i-1行共有1+2+2²+…+2^i-2=2^i-1-1個數，則第i行的第一個數是2^i-1，
所以aij=2i-1+j-1…（5分）
（3）證明：因為aij=2i-1+j-1，則ann=2n-1+n-1(n∈N*)，…（6分）
所以An=(1+2+22+…+2n-1)+[0+1+2+…+(n-1)]=2n-1+

n(n-1)

2

…（8分）
當n≥4時，An=(1+1)n-1+

n(n-1)

2

＞

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

-1+

n(n-1)

2

=n2+

C

3 n

．…（10分）

點評：本題以表格的形式給出正整數的排序方式，其關鍵是由表中的排序觀察總結出每行的第一個數等比的規(guī)律及每行內的數成等差的規(guī)律，從而得出任意一個數的通項公式，結合通項的特點，又考查了分組求和的方法，從而培養(yǎng)學生的觀察、發(fā)現、總結規(guī)律的能力，綜合運用公式的能力．