Question

對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x₀∈R，使?f(x₀)?=x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù)?f(x)?=ax²+?(b+1)x+(b-1)(a≠0).??

(1)當(dāng)a=1,b=-2時(shí)，求函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)；?

(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；?

(3)在(2)的條件下，若y=f(x)圖象上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+對(duì)稱，求b的最小值.

Answer 1

解析:（1）當(dāng)a=1,b=-2時(shí)，f(x)=x²-x-3.?

由題意可知x=x²-x-3,得x₁=-1,x₂=3.?

故當(dāng)a=1,b=-2時(shí)，f(x)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為(-1，-1)和(3,3).?

（2）∵f(x)=ax²+(b+1)x+(b-1)(a≠0)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，?

∴x=ax²+(b+1)x+(b-1),即ax²+bx+(b-1)=0恒有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，可知Δ=b²-4ab+4a＞0(b∈R)恒成立.于是有Δ′=(4a)²-16a＜0,解之得?0＜a＜1.??

故當(dāng)b∈R，f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是0＜a＜1.?

（3）由題意，A、B兩點(diǎn)應(yīng)在直線y=x上，設(shè)A(x₁,x₁),?B(x₂,x₂).??

∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=kx+對(duì)稱，

∴k=-1.?

設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x′,y′),?

∵x₁、x₂是方程ax²+bx+(b-1)=0的兩個(gè)根,?

∴x′=y′= =-.于是，由M在直線y=-x+上，得-=+,即?

b=-=-.?

∵a＞0,

∴2a+ ≥2.?

當(dāng)且僅當(dāng)2a=,即a=∈(0,1)時(shí)取等號(hào).?

故b≥-.∴b_min=-.