已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x,a∈R}.
(1)是否存在實數(shù)a,使得集合A中所有整數(shù)的元素和為28?若存在,求出符合條件的a,若不存在,請說明理由.
(2)若以a為首項,a為公比的等比數(shù)列前n項和記為Sn,對于任意的n∈N+,均有Sn∈A,求a的取值范圍.
【答案】
分析:(1)利用因式分解法求解含字母的一元二次不等式,寫解集時要注意對字母a進(jìn)行討論,注意存在性問題的解決方法,只需找出合題意的實數(shù)a即可;
(2)寫出該數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵.注意對字母a的討論,利用S
n∈A得出關(guān)于a的不等式或者找反例否定某種情況,進(jìn)行探求實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)當(dāng)a<1時,A={x|a≤x≤1},不符合;
當(dāng)a≥1時,A={x|-2≤x≤1},設(shè)a∈[n,n+1),n∈N,則
1+2++n=
=28,
所以n=7,即a∈[7,8)
(2)當(dāng)a≥1時,A={x|1≤x≤a}.而S
2=a+a
2∉A,故a≥1時,不存在滿足條件的a;
當(dāng)0<a<1時,A={a≤x≤1},而
是關(guān)于n的增函數(shù),
所以S
n隨n的增大而增大,
當(dāng)
且無限接近
時,對任意的n∈N
+,S
n∈A,只須a滿足
解得
.
當(dāng)a<-1時,A={x|a≤x≤1}.
而S
3-a=a
2+a
3=a
2(1+a)<0,S
3∉A故不存在實數(shù)a滿足條件.
當(dāng)a=-1時,A={x|-1≤x≤1}.S
2n-1=-1,S
2n=0,適合.
⑤當(dāng)-1<a<0時,A={x|a≤x≤1}.S
2n+1=S
2n-1+a
2n+a
2n+1=S
2n-1+a
2n+a
2n+1=S
2n-1+a
2n(1+a)>S
2n-1,S
2n+2=S
2n+a
2n+1+a
2n+2=S
2n+a
2n+1+a
2n+2=S
2n+a
2n+1(1+a)<S
2n,
∴S
2n-1<S
2n+1,S
2n+2<S
2n,且S
2=S
1+a
2>S
1.
故S
1<S
3<S
5<…<S
2n+1<S
2n<S
2n-2<…<S
4<S
2.
故只需
即
解得-1<a<0.
綜上所述,a的取值范圍是
.
點評:本題屬于含字母二次不等式解法的綜合問題,關(guān)鍵要對字母進(jìn)行合理的討論.注意存在性問題問題的解決方法,注意分類討論思想的運(yùn)用,注意等比數(shù)列中有關(guān)公式的運(yùn)用.