已知函數(shù)其中為自然對數(shù)的底數(shù)， .

(1)設，求函數(shù)的最值；

(2)若對于任意的，都有成立，求的取值范圍.

 

【答案】

（1）時，，；（2）

【解析】

試題分析：(1)將代入解析式，利用導函數(shù)求出駐點然后在分析導函數(shù)的正負，從而得出函數(shù)的單調性求出最值，；（2）將對于任意的，都有成立轉化為對任意，恒成立，然后利用參變分離求解即可.

試題解析：（1)當時，，．   1分

或，當在上變化時，，的變化情況如下表：

 

－

＋

 

1／e

  4分

∴時，，．    5分

（2）命題等價于對任意，

恒成立，

即對任意恒成立.

則，有，

又，                           9′

只需或.

綜上：的取值范圍為或.                      12′

考點：1.利用導數(shù)處理函數(shù)的單調性和最值；2.利用導數(shù)處理不等式恒成立問題

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x+
a2x
，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（Ⅰ）若x=1是函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的極值點，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）是否存在正實數(shù)a，使對任意的x1，x2∈[1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）都有f（x1）≥g（x2）成立，若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
lnx+kex
（k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x） 在點（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）設g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）是f（x）的導函數(shù)．證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e-2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知,（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），根據(jù)你的數(shù)學知識，推斷與間的隔離直線方程為                  .

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（山東卷解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線與軸平行.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的單調區(qū)間；

（Ⅲ）設,其中為的導函數(shù).證明：對任意.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年四川省成都市模擬考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)其中為自然對數(shù)的底數(shù)， .(Ⅰ)設，求函數(shù)的最值；（Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍.

【解析】第一問中，當時，，．結合表格和導數(shù)的知識判定單調性和極值，進而得到最值。

第二問中，∵，，      

∴原不等式等價于：,

即, 亦即

分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍

解：（Ⅰ)當時，，．

當在上變化時，，的變化情況如下表：

 

－

＋

 

1／e

∴時，，．

(Ⅱ)∵，，      

∴原不等式等價于：,

即, 亦即．

∴對于任意的，原不等式恒成立,等價于對恒成立,

∵對于任意的時, （當且僅當時取等號）．

∴只需，即，解之得或.

因此，的取值范圍是

 

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