【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,△PAB是邊長為2的等邊三角形,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,BC=CD=1,PD.
(1)證明:AB⊥PD.
(2)求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)根據(jù)勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理、線面垂直的性質(zhì)進行證明即可;
(2)由AD2+BD2=AB2,可得AD⊥BD,以D為原點,DA為x軸,DB為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)空間向量夾角公式進行求解即可.
(1)證明:連結(jié)BD,
∵在四棱錐P﹣ABCD中,△PAB是邊長為2的等邊三角形,
底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,BC=CD=1,PD.
∴BD=AD,
∴AD2+PD2=AP2,BD2+PD2=PB2,
∴AD⊥PD,BD⊥PD,
∵AD∩BD=D,∴PD⊥平面ABCD,
∵AB平面ABCD,∴AB⊥PD.
(2)解:∵AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD,
以D為原點,DA為x軸,DB為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(,0,0),B(0,,0),C(,0),P(0,0,),
(),(0,,),(,,),
設(shè)平面ABP的法向量(x,y,z),
則,取x=1,得(1,1,1),
設(shè)平面PBC的法向量,
則,取,得(﹣1,1,1),
設(shè)二面角A﹣PB﹣C的平面角為θ,
則二面角A﹣PB﹣C的余弦值為:cosθ.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某人經(jīng)營淡水池塘養(yǎng)草魚,根據(jù)過去期的養(yǎng)殖檔案,該池塘的養(yǎng)殖重量(百斤)都在百斤以上,其中不足百斤的有期,不低于百斤且不超過百斤的有期,超過百斤的有期.根據(jù)統(tǒng)計,該池塘的草魚重量的增加量(百斤)與使用某種餌料的質(zhì)量(百斤)之間的關(guān)系如圖所示.
(1)根據(jù)數(shù)據(jù)可知與具有線性相關(guān)關(guān)系,請建立關(guān)于的回歸方程;如果此人設(shè)想使用某種餌料百斤時,草魚重量的增加量須多于百斤,請根據(jù)回歸方程計算,確定此方案是否可行?并說明理由.
(2)養(yǎng)魚的池塘對水質(zhì)含氧量與新鮮度要求較高,某商家為該養(yǎng)殖戶提供收費服務(wù),即提供不超過臺增氧沖水機,每期養(yǎng)殖使用的沖水機運行臺數(shù)與魚塘的魚重量有如下關(guān)系:
魚的重量(單位:百斤) | |||
沖水機只需運行臺數(shù) |
若某臺增氧沖水機運行,則商家每期可獲利千元;若某臺沖水機未運行,則商家每期虧損千元.視頻率為概率,商家欲使每期沖水機總利潤的均值達到最大,應(yīng)提供幾臺增氧沖水機?
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),().
(Ⅰ)若函數(shù)有且只有一個零點,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè),若,若函數(shù)對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.(是自然對數(shù)的底數(shù),)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題12分)
A、B是治療同一種疾病的兩種藥,用若干試驗組進行對比試驗。每個試驗組由4只小白鼠組成,其中2只服用A,另2只服用B,然后觀察療效。若在一個試驗組中,服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多,就稱該試驗組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為,服用B有效的概率為。
(Ⅰ)求一個試驗組為甲類組的概率;
(Ⅱ) 觀察3個試驗組,用表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),,其中為歐拉數(shù),,為未知實數(shù),且.如果和均為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(1)求;
(2)若函數(shù)在上有極值點,為實數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大型商場的空調(diào)在1月到5月的銷售量與月份相關(guān),得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量(百臺) | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 1.8 |
(1)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)1月到5月的銷售量可用線性回歸模型擬合該商場空調(diào)的月銷量(百件)與月份之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測6月份該商場空調(diào)的銷售量;
(2)若該商場的營銷部對空調(diào)進行新一輪促銷,對7月到12月有購買空調(diào)意愿的顧客進行問卷調(diào)查.假設(shè)該地擬購買空調(diào)的消費群體十分龐大,經(jīng)過營銷部調(diào)研機構(gòu)對其中的500名顧客進行了一個抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:
有購買意愿對應(yīng)的月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數(shù) | 60 | 80 | 120 | 130 | 80 | 30 |
現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購買意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機抽取6名,再從這6人中隨機抽取3人進行跟蹤調(diào)查,求抽出的3人中恰好有2人是購買意愿的月份是12月的概率.
參考公式與數(shù)據(jù):線性回歸方程,其中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,,,,,,.過直線的平面分別交棱,于E,F兩點.
(1)求證:;
(2)若直線與平面所成角為,且,,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“業(yè)務(wù)技能測試”是量化考核員工績效等級的一項重要參考依據(jù).某公司為量化考核員工績效等級設(shè)計了A,B兩套測試方案,現(xiàn)各抽取名員工參加A,B兩套測試方案的預(yù)測試,統(tǒng)計成績(滿分分),得到如下頻率分布表.
成績頻率 | |||||||
方案A | |||||||
方案B |
(1)從預(yù)測試成績在的員工中隨機抽取人,記參加方案A的人數(shù)為,求的最有可能的取值;
(2)由于方案A的預(yù)測試成績更接近正態(tài)分布,該公司選擇方案A進行業(yè)務(wù)技能測試.測試后,公司統(tǒng)計了若干部門測試的平均成績與績效等級優(yōu)秀率,如下表所示:
根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點圖,初步判斷,選用作為回歸方程.令,經(jīng)計算得,,.
(。┤裟巢块T測試的平均成績?yōu)?/span>,則其績效等級優(yōu)秀率的預(yù)報值為多少?
(ⅱ)根據(jù)統(tǒng)計分析,大致認(rèn)為各部門測試平均成績,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差,求某個部門績效等級優(yōu)秀率不低于的概率為多少?
參考公式與數(shù)據(jù):(1),,.
(2)線性回歸方程中,,.
(3)若隨機變量,則,,.
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