Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,半焦距為,離心率,又直線交橢圓于, 兩點(diǎn),且為中點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若,求弦的長(zhǎng);

（3）若點(diǎn)恰好平分弦,求實(shí)數(shù);

（4）若滿足,求實(shí)數(shù)的取值范圍并求的值;

（5）設(shè)圓與橢圓相交于點(diǎn)與點(diǎn),求的最小值,并求此時(shí)圓的方程;

（6）若直線是圓的切線,證明的大小為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）, ；（4）,；（5）；（6）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意得方程組，解出方程組得橢圓方程；（2）聯(lián)立方程組，解出即可得交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得弦長(zhǎng)；（3）利用“點(diǎn)差法”可得斜率，根據(jù)點(diǎn)在直線上故而可得的值；（4）在（3）式的基礎(chǔ)上等號(hào)兩邊同時(shí)除以，即可得的值，聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)可得，結(jié)合韋達(dá)定理可得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù),所以，化簡(jiǎn)可得，兩者結(jié)合即可得結(jié)果；（5）根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)出的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)在橢圓上，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式得出的表達(dá)式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最小值及求此時(shí)圓的方程；（6）利用（4）中的結(jié)果結(jié)合韋達(dá)定理可得，根據(jù)直線與圓相切可得，故而，即可得結(jié)果.

試題解析：(1)根據(jù)題意: ,解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;

（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程: ,整理得: ,解得或,

所以, ,則.

（3）恰好平分弦,所以,

在橢圓上,則,上下相減得,

即,即,則,即,

點(diǎn)在直線上,所以直線,整理得,所以,

綜上所述: , .

（4）由（3）知,等號(hào)兩邊同時(shí)除以,

得,所以.

聯(lián)立直線方程和橢圓方程: ,整理得: ,

,解得,

則,所以,則,

因?yàn)?/span>,所以,則,化簡(jiǎn)得,則,又,所以,解得,

綜上所述: ,.

（5）設(shè), ,則 ,

所以,點(diǎn)與點(diǎn)在橢圓上: ,所以,當(dāng)時(shí), 取得最小值,此時(shí), ,

綜上所述: 的最小值為,此時(shí)圓的方程.

（6）由（4）得且,所以,,

所以

直線是圓的切線,所以點(diǎn)到直線距離為,

即,整理得,所以,即的大小為.