已知圓C：x2+(y-
1
4
)2=
1
16
，動(dòng)圓M與圓C外切，圓心M在x軸上方且圓M與x軸相切．
（I）求圓心軌跡M的曲線方程；
（II）若A（0，-2）為y軸上一定點(diǎn)，Q（t，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q且與AQ垂直的直線與軌跡M交于D，B兩點(diǎn)（D在線段BQ上），直線AB與軌跡M交于E點(diǎn)，求
AD
•
AE
的最小值．
分析：（Ⅰ）利用動(dòng)圓M與圓C外切，圓心M在x軸上方且圓M與x軸相切，可知M到C的距離等于M到直線y=-
1
4
的距離，從而圓心軌跡為拋物線；
（II）由題意，先求得D(
t
2
，
t2
4
)，B(-t，t2)，從而AB方程為y+2=
t2+2
-t
x，再求得E(-
2
t
，
4
t2
)，進(jìn)而可表示
AD
•
AE
，利用基本不等式求最小值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則MC=
1
4
+y，即M到C的距離等于M到直線y=-
1
4
的距離，從而圓心軌跡M的曲線方程為x2=y；
（II）由題意，不妨設(shè)t＞0．設(shè)QB方程為：y=-
t
2
(x-t)與x2=y聯(lián)立，求得D(
t
2
，
t2
4
)，B(-t，t2)，從而AB方程為y+2=
t2+2
-t
x，與x2=y聯(lián)立，求得E(-
2
t
，
4
t2
)，∴
AD
•
AE
=
t2
2
+
8
t2
+4≥8，即
AD
•
AE
的最小值為8．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，以及拋物線定義的應(yīng)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，有一定難度．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

已知圓C：x2+(y－1)2=5，直線l：mx－y+1－m=0

（1）求證：對(duì),直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）設(shè)l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求l的傾角；

(3)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；

（4）若定點(diǎn)P(1，1)分弦AB為，求此時(shí)直線l的方程.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

已知圓C：x2+(y-1)2=1和圓C1：(x-2)2+(y-1)2=1，現(xiàn)在構(gòu)造一系列的圓C1，C2，C3…，Cn，…，使圓Cn+1與Cn和圓C都相切，并都與Ox軸相切．

（1）求圓Cn的半徑rn；（2）證明：兩個(gè)相鄰圓Cn-1和Cn在切點(diǎn)間的公切線長為；

（3）求和

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年河南省許昌高一下學(xué)期第四次五校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（（本小題滿分12分）

 已知圓C：x2+(y－1)2 =5，直線l：mx－y+l－m=0，

 （1）求證：對(duì)任意，直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。

 （2）設(shè)l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若| AB | = ，求l的傾斜角；

 （3）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；


 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：同步題 題型：解答題

已知圓C：x2+(y-1)2=5，直線l：mx-y+1-m=0。
（Ⅰ）求證：對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)l與圓C交與不同兩點(diǎn)A、B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）若定點(diǎn)P（1，1）分弦AB為，求此時(shí)直線l的方程。

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