Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上.

（1）求，歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式（不必證明）.

（2）將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為，，，；，，，；，…，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為，求的值.

（3）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積，且，求數(shù)列的最大項(xiàng).

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）2010；（3）.

【解析】

（1）化簡(jiǎn)得到，計(jì)算，，，猜想得到答案.

（2）計(jì)算，再計(jì)算，相加得到答案.

（3）計(jì)算，故，故是單調(diào)遞減，計(jì)算得到答案.

（1）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，故，所以.令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以；

由此猜想：.

（2）因?yàn)?/span>，所以數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為，，，；，，，；，

每一次循環(huán)記為一組.由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào)，

故是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和.

由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20.

同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20.

故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80.

注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68，所以.

又，所以.

（3）因?yàn)?/span>，故，

所以.

由于，

所以，故是單調(diào)遞減，

于是數(shù)列的最大項(xiàng)為.