【題目】已知橢圓C 的左焦點為F(10),經(jīng)過點F的直線l0與橢圓交于AB兩點.當(dāng)直線l0x軸時,|AB|.

(1)求橢圓C的方程;

(2)作直線lx軸,分別過A,BAA1l,垂足為A1,BB1l,垂足為B1,且△A1FB1是直角三角形.問:是否存在直線l使得∠A1FO2B1FO?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

【答案】(1) ;(2)存在符合題意的直線lx=-1.

【解析】試題分析:(1)先求AB,得 ,再結(jié)合c=1解得a22,b21.2先根據(jù)條件確定A1FO2B1FO60°.再根據(jù)韋達定理求出l0方程,最后根據(jù)△A1FB1是直角三角形求出直線l的方程

試題解析:(1)由題意可知c1,.

又因為a2b2c2

解得a22,b21.

所以橢圓C的方程為y21.

(2)不妨設(shè)點Ax軸上方,由題意可知∠A1FB190°,要使∠A1FO2B1FO,則當(dāng)且僅當(dāng)∠A1FO2B1FO60°.

tanA1FO,tanB1FO.

設(shè)直線lx軸交于點H,則|A1H|3|B1H|.

設(shè)A(x1y1),B(x2y2),lxm,

A1(m,y1)B1(m,y2).

所以y1=-3y2

1(m1,y1)FB(m1,y2),

A1FB1F,得FA·FB0,即(m1)2y1y20.

由題意可知,AB不與y軸垂直,所以可設(shè)l0的方程為:xty1,代入橢圓方程y21(t22)y22ty10.

易知Δ4t24(t22)>0恒成立.

y1y2=-,

y1y2.

由①③可得y1y2,

將④代入②中可得,解得t21.

因此y1y2=-

從而m=-,由題意可知直線l在焦點F的右側(cè),所以存在符合題意的直線lx=-1.

練習(xí)冊系列答案
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經(jīng)計算: , .

(1)從滿足的數(shù)據(jù)中任取兩個,求所得兩個數(shù)據(jù)都滿足的概率;

(2)該店主通過作散點圖,發(fā)現(xiàn)上架時間與銷售量線性相關(guān),請你幫助店主求出上架時間與銷售量的線性回歸方程(保留三位小數(shù)),并預(yù)測商品上架1000分鐘時的銷售量.

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(1)求橢圓C的方程;

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