Question

【題目】已知橢圓（）的右焦點為，左右頂點分別為、，，過點的直線（不與軸重合）交橢圓于、點，直線與軸的交點為，與直線的交點為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，求出點的坐標(biāo)；

（3）求證：、、三點共線.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或；(3)證明見解析

【解析】

(1)根據(jù)題意可得，再根據(jù)橢圓中基本量的關(guān)系求解橢圓的方程即可.

(2)根據(jù)平行的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得相似比，再設(shè)利用以及在橢圓上求解坐標(biāo)即可.

(3)設(shè)直線的方程為，再聯(lián)立橢圓的方程，設(shè)，再根據(jù)共線可得的坐標(biāo)表達(dá)式，再代入韋達(dá)定理證明即可.

(1)由題，，，故圓的方程為

(2)當(dāng)時，易得，且相似比為,故.

設(shè)，則，即，解得.

將代入代入可得，故.

故或

(3)顯然直線的斜率不為0，故設(shè)直線的方程為，.

聯(lián)立有，得，故.

設(shè)，因為共線，故.

又直線的斜率，直線的斜率.

若、、三點共線則，即，化簡得，代入韋達(dá)定理顯然成立.

故成立，故、、三點共線.