【題目】如圖，在三棱柱中，，

（1）求證：；

（2）若四邊形為正方形，為正三角形，M是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)為N，通過線線垂直證明平面，即可推出，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得證；（2）首先證明為正三棱錐，過點(diǎn)作平面，則O為正的中心，取上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)為E，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求二面角的余弦值.

（1）證明：取的中點(diǎn)為N，在中，，所以,

又，且，所以，

，平面，，所以平面，

又平面，所以，

所以在中，由及的中點(diǎn)為N，得.

（2）由四邊形為正方形，得，

由為正三角形，得，所以

又由（1）知，所以為正三棱錐，

過點(diǎn)作平面，則O為正的中心，取上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)為E，

則，，兩兩垂直，分別以射線，，為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，

，，，，，，，

，

設(shè)平面的法向量，

則，取，得，

設(shè)平面的法向量，

則，所以，取，得

，

設(shè)二面角為，因?yàn)?/span>為鈍角，所以，

即所求的二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】三棱錐中，，△為等邊三角形，二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為.則三棱錐體積的最大值為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知四點(diǎn)均在函數(shù)f（x）＝log2的圖象上，若四邊形ABCD為平行四邊形，則四邊形ABCD的面積是（ ）

A.B.C.D.

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【題目】著名物理學(xué)家李政道說：“科學(xué)和藝術(shù)是不可分割的”.音樂中使用的樂音在高度上不是任意定的，它們是按照嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法確定的.我國(guó)明代的數(shù)學(xué)家、音樂理論家朱載填創(chuàng)立了十二平均律是第一個(gè)利用數(shù)學(xué)使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個(gè)半音，使相鄰兩個(gè)半音之間的頻率比是常數(shù)，如下表所示，其中表示這些半音的頻率，它們滿足.若某一半音與的頻率之比為，則該半音為（ ）

頻率

半音

C

D

E

F

G

A

B

C（八度）

A.B.GC.D.A

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知一條曲線C在y軸右側(cè)，曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到y軸的距離都等于1.

（1）求曲線C的方程；

（2）直線與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線與關(guān)于x軸對(duì)稱而與直線的位置無關(guān)，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，已知，，，.是線段的中點(diǎn).

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的大小的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓（）的右焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為、，，過點(diǎn)的直線（不與軸重合）交橢圓于、點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，與直線的交點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）求證：、、三點(diǎn)共線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面與側(cè)面都是以為斜邊的等腰直角三角形，為線段的中點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，若平面與平面所成銳二面角的平面角為，則的最大值是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為響應(yīng)黨的號(hào)召，堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，某地區(qū)實(shí)行了幫扶單位定點(diǎn)幫扶扶貧村脫貧.為了解該地區(qū)貧困戶對(duì)其所提供的幫扶的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)貧困戶，得到貧困戶的滿意度評(píng)分如下：

現(xiàn)按貧困戶編號(hào)從小到大的順序分組，用系統(tǒng)抽樣法從40名貧困戶中抽取容量為10的樣本.

（1）若在第一分段里隨機(jī)抽到的第一個(gè)樣本的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)為81，記第二和第十個(gè)樣本的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分別為a，b，請(qǐng)寫出a，b的值；

（2）若10個(gè)樣本的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分別為92，84，86，78，89，74，83，78，77，89.請(qǐng)你計(jì)算所抽到的10個(gè)樣本的平均數(shù)和方差；

（3）在（1）條件下，若貧困戶的滿意度評(píng)分在之間，則滿意度等級(jí)為“A級(jí)”.試應(yīng)用樣本估計(jì)總體的思想，用（2）中的樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)在滿意度為“A級(jí)”的貧困戶中隨機(jī)地抽取2戶，所抽到2戶的滿意度評(píng)分均“超過80”的概率.

（參考數(shù)據(jù)：，，）

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