Question

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.函數(shù).

（1）請寫出函數(shù)與函數(shù)在的單調(diào)區(qū)間；（只寫結(jié)論，不需證明）

（2）求函數(shù)的最大值和最小值；

（3）討論方程實根的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）的減區(qū)間是，增區(qū)間是；的減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）最小值，最大值；（3）詳見解析.

【解析】

（1）由已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到所求的兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）化簡的函數(shù)解析式，再由已知結(jié)論，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即可得到所求函數(shù)的最值；

（3）化簡方程可得或，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，分類討論可得到方程根的個數(shù).

根據(jù)條件，的單調(diào)遞減區(qū)間是

單調(diào)遞增區(qū)間是；

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

由可知，與均在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則有函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，；

由可得，

所以有或，

又函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

而，

所以當(dāng)時，方程無實數(shù)根；

當(dāng)時，有一個實數(shù)根；

當(dāng)，且即，方程有兩個實數(shù)根；

當(dāng)，，方程有三個實數(shù)根；

當(dāng)時，方程有四個實數(shù)根．

綜上，當(dāng)時，方程實根個數(shù)為0；

當(dāng)時，方程實根個數(shù)為1；

當(dāng)時，方程實根個數(shù)為2；

當(dāng)，時，方程實根個數(shù)為3；

當(dāng)時，方程實根個數(shù)為4．