【題目】已知函數(shù)f(x)=(x2﹣x﹣ )eax(a>0).
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)若存在唯一實數(shù)x0 , 使得f(x0)+ =0成立,求實數(shù)a的值.

【答案】
(1)解:函數(shù)y=f(x)的定義域為R,f′(x)=[ax2+(2﹣a)x﹣2]eax

令f′(x)=0,得x=1,x=﹣ <0,

當(dāng)x∈(﹣∞,﹣ ),(1,+∞)時,f′(x)>0,當(dāng)x∈(﹣v,1)時,f′(x)<0.

∴函數(shù)f(x)在(﹣∞,﹣ ),(1,+∞)上遞增,在∈(﹣ ,1)遞減.

注意到x<﹣ ,x2﹣x﹣ >0,f(1)=﹣ <0.

∴函數(shù)y=f(x)的最小值為f(1)=﹣


(2)解:存在唯一實數(shù)x0,使得f(x0)+ =0成立函數(shù)y=f(x)圖象與y=﹣ <(﹣ 0)有唯一交點(diǎn),

結(jié)合(1)可得函數(shù)f(x)在(﹣∞,﹣ ),(1,+∞)上遞增,在∈(﹣ ,1)遞減.

注意到x<﹣ ,x2﹣x﹣ >0,f(1)=﹣ <0.

∴當(dāng)且僅當(dāng)﹣ 時,存在唯一實數(shù)x0,使得f(x0)+ =0成立,

即a=ln3時,存在唯一實數(shù)x0,使得f(x0)+ =0成立


【解析】(1)函數(shù)y=f(x)的定義域為R,f′(x)=[ax2+(2﹣a)x﹣2]eax . 利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)f(x)在(﹣∞,﹣ ),(1,+∞)上遞增,在∈(﹣ ,1)遞減.注意到x<﹣ ,x2﹣x﹣ >0,f(1)=﹣ <0.即函數(shù)y=f(x)的最小值為f(1)(2)存在唯一實數(shù)x0 , 使得f(x0)+ =0成立函數(shù)y=f(x)圖象與y=﹣ <(﹣ 0)有唯一交點(diǎn),結(jié)合圖象且僅當(dāng)﹣ 時,存在唯一實數(shù)x0 , 使得f(x0)+ =0成立,
即可求得實數(shù)a的值.
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

練習(xí)冊系列答案
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A.42
B.128
C.170
D.682

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x (g)

5

10

15

20

25

30

y (cm)

7.25

8.12

8.95

9.90

10.9

11.8


(1)畫出散點(diǎn)圖;
(2)如果散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近,求y與x之間的回歸方程. ( 其中

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A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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【題目】某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量1,2,3,…,2424個整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生.

()分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時輸出的值為的概率 (=1,2,3);

()甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復(fù)運(yùn)行n次后,統(tǒng)計記錄了輸出的值為 (=1,2,3)的頻數(shù).以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分?jǐn)?shù)據(jù).

甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)

運(yùn)行

次數(shù)n

輸出y的值

1的頻數(shù)

輸出y的值

2的頻數(shù)

輸出y的值

3的頻數(shù)

30

14

6

10

2 100

1 027

376

697

乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)

運(yùn)行

次數(shù)n

輸出y的值

1的頻數(shù)

輸出y的值

2的頻數(shù)

輸出y的值

3的頻數(shù)

30

12

11

7

2 100

1 051

696

353

當(dāng)n=2100,根據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別寫出甲、乙所編程序各自輸出的值為 (=1,2,3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示),并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大.

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