已知離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)。

（1）求橢圓的方程。
（2）證明：若直線的斜率分別為、，求證：+=0。

（Ⅰ）．（Ⅱ）見(jiàn)解析。

解析試題分析：(1)由于先由橢圓C的離心率和橢圓過(guò)點(diǎn)M（2，1），列出方程組，再由方程組求出a，b，由此能求出橢圓方程
（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，那么再結(jié)合斜率公式得到證明。
解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為:．
由題意得: ∴ 橢圓方程為．
（Ⅱ）由直線,可設(shè)，將式子代入橢圓得:
設(shè),則
設(shè)直線、的斜率分別為、，則 
下面只需證明：，事實(shí)上，

。
考點(diǎn)：本試題主要考查了橢圓方程的求法，考查三角形是等腰三角形的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意直線與橢圓的位置關(guān)系的靈活運(yùn)用。
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能利用橢圓的性質(zhì)得到a,b,c,的值，進(jìn)而得到橢圓方程，同時(shí)能利用韋達(dá)定理得到斜率的關(guān)系式。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

(本小題滿分12分)
如圖橢圓的上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B, F為右焦點(diǎn), 過(guò)F作平行與AB的直線交橢圓于C、D兩點(diǎn). 作平行四邊形OCED, E恰在橢圓上。
（1）求橢圓的離心率；
（2）若平行四邊形OCED的面積為, 求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)B恰好是拋物線的焦點(diǎn)，且離心率等于，直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C的右焦點(diǎn)F是否可以為的垂心？若可以，求出直線的方程；若不行，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（12分）已知拋物線, 過(guò)點(diǎn)引一弦，使它恰在點(diǎn)被平分，求這條弦所在的直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題14分）已知直線經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn)。

（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求線段的長(zhǎng)度的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

(本題滿分12分)
已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m≠0），交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

(14分)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，滿足，且.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）D是過(guò)三點(diǎn)的圓上的點(diǎn)，D到直線的最大距離等于橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，求橢圓的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（I） 已知拋物線過(guò)焦點(diǎn)的動(dòng)直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn), 求證: 為定值;
（Ⅱ）由 （Ⅰ） 可知: 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的動(dòng)直線 l 交拋物線于兩點(diǎn), 存在定點(diǎn), 使得為定值. 請(qǐng)寫出關(guān)于橢圓的類似結(jié)論,并給出證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題12分）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)。
（1）求的周長(zhǎng)；
（2）若的傾斜角為，求的面積。

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