Question

【題目】已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為和，且其離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線分別交橢圓于兩點(diǎn)（四點(diǎn)互不重合），請判斷直線是否恒過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn).

【解析】

（1）根據(jù)題意得，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，由離心率，得出，結(jié)合即可求出，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，分別求出，進(jìn)而得出直線和的方程，聯(lián)立方程組，分別求出的坐標(biāo)，即可得出，寫出直線的方程，即可得出答案.

解：（1）由題意得出，，則，

又因?yàn)?/span>，即，解得：，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，

又因?yàn)?/span>和，則，

得出直線的方程為：，直線的方程為：，

設(shè)，

聯(lián)立方程，整理得，

解得：，代入直線得：，

得，

聯(lián)立方程，整理得，

解得：，帶入直線得：，

得，

所以，

則直線的方程為：，

整理得：.

所以直線過定點(diǎn).