試題分析:(1)令x=1,則a
0=2
n,令x=2,
則
,∴S
n=3
n﹣2
n; (3分)
(2)要比較S
n與(n﹣2)2
n+2n
2的大小,即比較:3
n與(n﹣1)2
n+2n
2的大小,
當n=1時,3
n>(n﹣1)2
n+2n
2;當n=2,3時,3
n<(n﹣1)2
n+2n
2;
當n=4,5時,3
n>(n﹣1)2
n+2n
2; (5分)
猜想:當n≥4時n≥4時,3
n>(n﹣1)2
n+2n
2,下面用數學歸納法證明:
由上述過程可知,n=4n=4時結論成立,
假設當n=k(k≥4)n=k,(k≥4)時結論成立,即3
n>(n﹣1)2
n+2n
2,
兩邊同乘以3 得:3
k+1>3[(k﹣1)2
k+2k
2]=k2
k+1+2(k+1)
2+[(k﹣3)2
k+4k
2﹣4k﹣2]
而(k﹣3)2
k+4k
2﹣4k﹣2=(k﹣3)2
k+4(k
2﹣k﹣2)+6=(k﹣2)2
k+4(k﹣2)(k+1)+6>0∴3
k+1>[(k+1)﹣1]2
k+1+2(k+1)
2即n=k+1時結論也成立,
∴當n≥4時,3
n>(n﹣1)2
n+2n
2成立.
綜上得,當n=1時,3
n>(n﹣1)2
n+2n
2;
當n=2,3時,3
n<(n﹣1)2
n+2n
2;當n≥4,n∈N
*時,3
n>(n﹣1)2
n+2n
2﹣﹣(10分)
點評:本題是中檔題,考查與n有關的命題,通過賦值法解答固定項,前n項和,以及數學歸納法的應用,考查邏輯推理能力,計算能力,?碱}型