Question

在數(shù)列中，，且對任意.，，成等差數(shù)列，其公差為。
（Ⅰ）若=，證明，，成等比數(shù)列（）
（Ⅱ）若對任意，，，成等比數(shù)列，其公比為。 證明：對任意,,有

Answer 1

（Ⅰ）證明：由題設(shè)，可得。
所以
=
=2k(k+1)
由=0，得
于是。
所以成等比數(shù)列。
（Ⅱ）證法一：（i）證明：由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，得
當≠1時，可知≠1，k
從而
所以是等差數(shù)列，公差為1。
（Ⅱ）證明：，，可得，從而=1.由（Ⅰ）有

所以
因此，
以下分兩種情況進行討論：
（1）  當n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m()
若m=1,則.
若m≥2，則
+

所以
(2)當n為奇數(shù)時，設(shè)n=2m+1（）


所以從而···
綜合（1）（2）可知，對任意,,有
證法二：（i）證明：由題設(shè)，可得
所以

由可知�？傻�，
所以是等差數(shù)列，公差為1。
（ii）證明：因為所以。
所以，從而，。于是，由（i）可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項公式可得= ，故。
從而。
所以，由，可得
。
于是，由（i）可知
以下同證法一。