Question

（2010•江西模擬）已知函數(shù)f(x)=(

3

sinωx+cosωx)cosωx-

1

2

，（ω＞0）的最小正周期為4π．
（1）若函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=π對稱，求y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）在△ABC中角A，B，C，的對邊分別是a，b，c滿足（2a-c）cosB=b•cosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的二倍角公式與輔助角公式可將f(x)=(

3

sinωx+cosωx)cosωx-

1

2

化為：f(x)=sin(2ωx+

π

6

)，由最小正周期為4π可求得ω，從而可求得f（x），函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=π對稱，可求得g（x），從而可求得其單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由正弦定理可將（2a-c）cosB=b•cosC，轉(zhuǎn)化為：2sinAcosB=sin（B+C），從而可求得cosB=

1

2

，B=

π

3

，繼而可得0＜A＜

2π

3

，

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，f（A）的取值范圍可求．

解答：解：（1）∵f(x)=

3

sinωx•cosωx+cos2ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx=sin(2ωx+

π

6

)，
又

2π

2ω

=4π∴ω=

1

4

，f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)，
∵y=g（x）與y=f（x）關于x=π對稱，
∴g(x)=f(2π-x)=sin(

2π-x

2

+

π

6

)=sin(π-(

x

2

-

π

6

))=sin(   

x

2

-

π

6

)，
由2k-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得：4kπ-

2π

3

≤x≤4kπ+

π

3

，（k∈z）
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[4kπ-

2π

3

，4kπ+

π

3

]（k∈z）；
（2）由正弦定理：（2sinA-sinC）cosB=sinB•cosC，2sinAcosB=sin（B+C）
∵sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

，
∴0＜A＜

2π

3

，

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

∴f(A)∈(

1

2

，1)

點評：本題考查二倍角的正弦，著重考查二倍角的正弦，輔助角公式的應用及正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．