Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx－ax+－1.
(1) 當(dāng)a=1時, 過原點的直線與函數(shù)f(x)的圖象相切于點P, 求點P的坐標;
(2) 當(dāng)0＜a＜時, 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(3) 當(dāng)a=時, 設(shè)函數(shù)g(x)=x²－2bx－, 若對于x₁∈, [0, 1]使f(x₁)≥g(x₂)成立, 求實數(shù)b的取值范圍.（e是自然對數(shù)的底, e＜+1）.

Answer 1

(1) (2) 增區(qū)間為減區(qū)間為， (3)

試題分析：函數(shù)的定義域為，                 （2分）
（1）設(shè)點，當(dāng)時，，則，，∴                  （3分）
解得，故點P 的坐標為                             （4分）
（2）
∵ ∴                                   （6分）
∴當(dāng)，或時，當(dāng)時，
故當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
單調(diào)遞減區(qū)間為，                                  （8分）
（3）當(dāng)時，由（Ⅱ）可知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且，
∵，又，∴，
∴，故函數(shù)在上的最小值為         （10分）
若對于，使 ≥成立在上的最小值不大于
在上的最小值（*）     （11分）
又，
①當(dāng)時，在上為增函數(shù)，與（*）矛盾
②當(dāng)時，，由及得，

③當(dāng)時，在上為減函數(shù)，，
此時
綜上，的取值范圍是（14分）
點評：第一問函數(shù)曲線與某直線相切時，充分利用切點坐標與直線曲線的聯(lián)系尋求關(guān)系式，第二問求單調(diào)區(qū)間主要通過導(dǎo)數(shù)的正負分別求得單調(diào)增減區(qū)間，第三問首先將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，須認真分析清楚需要比較的是最大值還是最小值，這一點是容易出錯的地方