【題目】設f(x)=2 sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)把y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再把得到的圖象向左平移 個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g( )的值.

【答案】
(1)

解:∵f(x)=2 sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2

=2 sin2x﹣1+sin2x

=2 ﹣1+sin2x

=sin2x﹣ cos2x+ ﹣1

=2sin(2x﹣ )+ ﹣1,

令2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,

可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ﹣ ,kπ+ ],k∈Z


(2)

解:把y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),可得y=2sin(x﹣ )+ ﹣1的圖象;

再把得到的圖象向左平移 個單位,得到函數(shù)y=g(x)=2sinx+ ﹣1的圖象,

∴g( )=2sin + ﹣1=


【解析】(1)利用三角恒等變換化簡f(x)的解析式,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)的增區(qū)間.(2)利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,求得g(x)的解析式,從而求得g( )的值.;本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,求函數(shù)的值,屬于基礎題.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換的相關知識,掌握圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標不變),得到函數(shù)的圖象.

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