Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2＋lnx.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：當(dāng)x>1時(shí)， x2＋lnx<x3.

Answer 1

【答案】 (1) f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞) (2)略

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)定義域，即可判斷其單調(diào)性，從而知單調(diào)區(qū)間。

（2）證明當(dāng)x>1時(shí)，，只需證當(dāng)x>1時(shí)，，

可設(shè)，只需證明時(shí)，，因此，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，得出，結(jié)論得證。

(1)依題意知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0}，

∵f′(x)＝x＋，故f′(x)>0，∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)．

(2)設(shè)g(x)＝x3－x2－lnx，∴g′(x)＝2x2－x－，

∵當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)＝>0，

∴g(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，∴g(x)>g(1)＝>0，

∴當(dāng)x>1時(shí)， x2＋lnx<x3.