Question

已知斜三棱柱側(cè)棱與底面邊長均為2，側(cè)棱與底面所成的角為60°，且側(cè)面ABB₁A₁與底面垂直．
（1）求異面直線B₁C與C₁A所成的角；
（2）求此斜三棱柱的表面積．

Answer 1

分析：（1）取AB中點D，連結(jié)BC₁，交B₁C于點O，連結(jié)OD、B₁D．由平行四邊形形的性質(zhì)和三角形中位線定理，證出∠COD（或補角）是異面直線B₁C與C₁A所成的角．結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出△COD的三邊之長，再利用余弦定理即可算出異面直線B₁C與C₁A所成的角大小；
（2）根據(jù)余弦定理解三角形，算出cos∠ACC₁=-

1

4

，從而得到sin∠ACC₁=

15

4

，可得S AA1C1C=

15

．同樣的方法算出S BB1C1C=

15

，結(jié)合S AA1B1B=2

3

和S_△ABC=S △A1B 1C1=

3

，即可求出此斜三棱柱的表面積．

解答：解：（1）取AB中點D，連結(jié)BC₁，交B₁C于點O，連結(jié)OD、B₁D
∵平行四邊形BCC₁B₁的對角線交點為O，
∴O為BC₁的中點，可得OD是三角形ABC₁的中位線
∴OD∥AC₁，∠COD（或補角）是異面直線B₁C與C₁A所成的角
∵平面ABC⊥側(cè)面ABB₁A₁，平面ABC∩側(cè)面ABB₁A₁=AB
正三角形ABC中，CD⊥AB
∴CD⊥側(cè)面ABB₁A₁，
∵CD=

3

2

AB=

3

，B₁D=

1+4-2×1×2cos120°

=

7

可得Rt△CDB₁中，B₁C=

CD2+B 1D2

=

10

，得C0=

10

2

=D0
∴△COD中由余弦定理，得cos∠COD=

5 2 + 5 2 -3

2× 10 2 × 10 2

=

2

5

因此，異面直線B₁C與C₁A所成的角為arccos

2

5

；
（2）由（1）得AC₁=2D0=

10

，從而算出cos∠ACC₁=

4+4-10

2×2×2

=-

1

4

∴sin∠ACC₁=

15

4

，可得S AA1C1C=CC₁•ACcsin∠ACC₁=

15

同理算出S BB1C1C=

15

又∵S AA1B1B=A₁A•ABsin60°=2

3

，S_△ABC=S △A1B 1C1=

3

4

×22=

3

∴此斜三棱柱的表面積為
S=S AA1B1B+S BB1C1C+S AA1C1C+S_△ABC+S △A1B 1C1=2

15

+4

3

．

點評：本題給出特殊三棱柱，求異面直線所成角大小并求該幾何體表面積，著重考查了面面垂直的性質(zhì)定理、正余弦定理解三角形和面積公式等知識，屬于中檔題．