Question

6．已知函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，且當x∈[-1，0]時，f（x）=|x|．若在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． $（{0，\;\frac{1}{2}}]$
• B． $（{0，\;\frac{1}{3}}]$
• C． $（{0，\;\frac{1}{4}}]$
• D． $[{\frac{1}{4}，\;\;\frac{1}{3}}]$

Answer 1

分析 在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=k（x+1）的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：由f（-x）=f（x），知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
由$f（{x+1}）=-\frac{1}{f（x）}$，得函數(shù)f（x）的周期為2．
又∵$f（{-x+1}）=-\frac{1}{{f（{-x}）}}=-\frac{1}{f（x）}$，∴f（-x+1）=f（x+1），∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱．
令g（x）=f（x）-k（x+1）=0，得f（x）=k（x+1）．
在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=k（x+1）的圖象，如圖，
由圖可知，當直線y=k（x+1）過點C（3，1）時有4個交點，
此時直線y=k（x+1）的斜率為$k=\frac{1-0}{{3-（{-1}）}}=\frac{1}{4}$，
要使函數(shù)g（x）=f（x）-k（x+1）有4個零點，
則直線的斜率滿足$0＜k≤\frac{1}{4}$．．

故選：C

點評 本題考查的知識點是數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)的零點，函數(shù)的圖象，難度中檔．