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已知橢圓的中心為直角坐標系的原點，焦點在軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1．
（1）求橢圓的方程；
（2）若為橢圓的動點，為過且垂直于軸的直線上的點，（為橢圓的離心率），求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

（1）；（2）軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段．

解析試題分析：（1）橢圓有四個（兩對）頂點，短軸的兩個頂點到焦點的距離相等，這里可見是長軸的兩頂點，于是有，可求得，以及橢圓方程；（2）動點的運動是由點在橢圓上運動引起的，因此要求點的軌跡方程，我們采取動點轉移法，借助于點，就是設點坐標為，動點的坐標為，想辦法用表示，然后把代入點所在的橢圓的方程，即可得動點的軌跡方程，化簡即可。
試題解析：（1）設橢圓長半軸長及分別為a,c,由已知得
{ 解得a=4,c=3,所以橢圓C的方程為
（2Ⅱ）設M（x,y）,P(x,),其中由已知得
而，故             ①
由點P在橢圓C上得  代入①式并化簡得
所以點M的軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段．
考點：（1）橢圓的標準方程；（2）動點轉移法求軌跡方程，軌跡。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知點，，直線AG，BG相交于點G，且它們的斜率之積是．
（Ⅰ）求點G的軌跡的方程；
（Ⅱ）圓上有一個動點P，且P在x軸的上方，點，直線PA交（Ⅰ）中的軌跡于D，連接PB，CD．設直線PB，CD的斜率存在且分別為，，若，求實數的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知兩點及，點在以、為焦點的橢圓上，且、、構成等差數列．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點是直線上的兩點，且，
． 求四邊形面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知、分別是橢圓的左、右焦點，右焦點到上頂點的距離為2，若
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）直線與橢圓交于兩點，若弦的中點為，求直線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，焦距為2，離心率為
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線經過點（0,1），且與橢圓C交于兩點，若，求直線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點、，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過點P（4，0）且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）若B點關于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線：和⊙：，過拋物線上一點作兩條直線與⊙相切于、兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點到拋物線準線的距離為．

（1）求拋物線的方程；
（2）當的角平分線垂直軸時，求直線的斜率；
（3）若直線在軸上的截距為，求的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知圓和圓.
（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；
（2）設為平面上的點，滿足：存在過點的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點的坐標.

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