【題目】在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,所有棱長均為2,∠AA1D1=∠AA1B1=60°,∠D1A1B1=90°.
(1)求證:A1C⊥B1D1;
(2)求對角線AC1的長;
(3)求二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值的大小.
【答案】(1)證明見詳解;(2);(3).
【解析】
(1)根據(jù)題意,先證明B1D1⊥平面A1ACC1,再根據(jù)線面垂直推證線線垂直即可;
(2)由平面推證出為直角三角形,再用勾股定理求解即可;
(3)以為坐標原點,建立空間直角坐標系,分別求出兩個平面的法向量,再根據(jù)向量夾角的求解公式,即可求得.
(1)證明:∵在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,所有棱長均為2,
∴AD1=AB1=2,連結A1C1,B1D1,交于點O,連結AO,如下圖所示:
∵∠AA1D1=∠AA1B1=60°,∠D1A1B1=90°.∴AO⊥B1D1,
∵四邊形A1B1C1D1為正方形,∴B1D1⊥A1C1,
∴B1D1⊥平面A1ACC1,
∵A1C平面A1ACC1,
∴B1D1⊥A1C.
(2)在△AB1D1中,AO
又,AA1=2,
∴,∴AO⊥A1O,
∵AO⊥B1D1,∴AO⊥平面A1B1C1D1,
∴AO⊥OC1,
∴AC12.
(3)由(2)知AO⊥平面A1B1C1D1,
以點O為原點,OA1為x軸,OB1為y軸,OA為z軸,建立空間直角坐標系,
A(0,0,),B1(0,,0),C1(,0,0),
(0,),(,0,),
設平面AB1C1的法向量
則,
取x=1,得(1,﹣1,﹣1),
平面AB1D1的法向量(1,0,0),
設二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角為θ,
則cosθ.
∴二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),為的導函數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求的值;
(2)求證:;
(3)若對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】(本小題10分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程
已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=2sinθ。
(Ⅰ)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程;
(Ⅱ)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π)
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【題目】已知橢圓的右焦點F與拋物線焦點重合,且橢圓的離心率為,過軸正半軸一點 且斜率為的直線交橢圓于兩點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)是否存在實數(shù)使以線段為直徑的圓經(jīng)過點,若存在,求出實數(shù)的值;若不存在說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣1|+|2x﹣6|(x∈R),記f(x)的最小值為c.
(1)求c的值;
(2)若實數(shù)ab滿足a>0,b>0,a+b=c,求的最小值.
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【題目】如圖,一個湖的邊界是圓心為的圓,湖的一側有一條直線型公路,湖上有橋(是圓的直徑).規(guī)劃在公路上選兩個點,,并修建兩段直線型道路,,規(guī)劃要求:線段,上的所有點到點的距離均不小于圓的半徑.已知點,到直線的距離分別為和(,為垂足),測得,,(單位:百米).
(1)若道路與橋垂直,求道路的長;
(2)在規(guī)劃要求下,和中能否有一個點選在處?并說明理由;
(3)在規(guī)劃要求下,若道路和的長度均為(單位:百米),求當最小時,、兩點間的距離.
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