【題目】在四棱錐中,底面為平行四邊形, , , , 點(diǎn)在底面內(nèi)的射影在線段上,且, , 為的中點(diǎn), 在線段上,且.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),證明:平面平面;
(Ⅱ)當(dāng)平面與平面所成的二面角的正弦值為時(shí),求四棱錐的體積.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).
【解析】試題分析:(Ⅰ)接,作交于點(diǎn),則四邊形為平行四邊形,在中由余弦定理得,由勾股定理可得,在中, , 分別是, 的中點(diǎn),結(jié)合中位線及平行的傳遞性可得,故可得平面,由線面平行判定定理可得結(jié)論;(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn), , , 所在直線分別為軸, 軸, 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量與二面角平面角之間關(guān)系可得: ,由棱錐的體積公式可得結(jié)果.
試題解析:(Ⅰ)證明:連接,作交于點(diǎn),則四邊形為平行四邊形,
,在中, , , ,由余弦定理得.
所以,從而有.
在中, , 分別是, 的中點(diǎn),
則, ,
因?yàn)?/span>,所以.
由平面, 平面,
得,又, ,
得平面,又平面,
所以平面平面.
(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn), , , 所在直線分別為軸, 軸, 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則, , , , , .
平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面的法向量為,
由, ,得令,得.
由題意可得, ,
解得,
所以四棱錐的體積.
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(2)設(shè)cn= ,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn .
①求Tn;
②對(duì)于任意的n∈N*及x∈R,不等式kx2﹣6kx+k+7+3Tn>0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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B.向右平移
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