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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,上、下頂點分別為,若,點關于直線的對稱點在橢圓.

1)求橢圓的方程與離心率;

2)過點做直線與橢圓相交于兩個不同的點;若恒成立,求實數的取值范圍.

【答案】1; 2.

【解析】

1)根據,得到,得到點關于直線的對稱點,代入橢圓方程,求出,再得到,從而得到橢圓的標準方程和離心率;

(2)當直線斜率不存在時,得到,直線斜率存在時,設為,與橢圓聯立,得到的范圍和,從而表示出,得到其范圍,再得到的取值范圍.

1)因為,故,故橢圓,

關于直線的對稱點為

代入橢圓中,得

解得,

所以,

所以橢圓的方程為,離心率

2)當直線的斜率不存在時,,所以

當直線的斜率存在時,設直線的方程為

聯立,消去整理得

,可得,

,

所以

所以,

因為恒成立,

所以

即實數的取值范圍為

練習冊系列答案
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