在中學(xué)階段,對許多特定集合(如實數(shù)集、復(fù)數(shù)集以及平面向量集等)的學(xué)習(xí)常常是以定義運(yùn)算(如四則運(yùn)算)和研究運(yùn)算律為主要內(nèi)容.現(xiàn)設(shè)集合A由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成,在A上定義一個運(yùn)算,記為⊙,對于A中的任意兩個元素α=(a,b),β=(c,d),規(guī)定:α⊙β=(ad+bc,bd-ac).
(1)計算:(2,3)⊙(-1,4).
(2)請用數(shù)學(xué)符號語言表述運(yùn)算⊙滿足交換律,并給出證明.
(3)若“A中的元素I=(x,y)”是“對?α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立”的充要條件,試求出元素I.
分析:(1)由已知α⊙β=(ad+bc,bd-ac),將:(2,3)⊙(-1,4)中參與運(yùn)算的兩個元素代入易得答案.
(2)根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的數(shù)、向量等的交換率,類比給出⊙運(yùn)算的交換率,結(jié)合⊙的定義,不難證明.
(3)根據(jù)充要條件的定義,結(jié)合⊙的定義,不難得到一個關(guān)于I=(x,y)的方程組,解方程組,即可得到答案.
解答:解:(1)∵α⊙β=(ad+bc,bd-ac),
∴(2,3)⊙(-1,4)=(2×4-1×3,2×4+1×3)=(5,14)
(2)根據(jù)數(shù)和向量乘法交換率的形式,
類比利得到⊙運(yùn)算的交換律為:α⊙β=β⊙α,
證明如下:
設(shè)α=(a,b),β=(c,d),
則α⊙β=(ad+bc,bd-ac),
β⊙α=(c,d)⊙(a,b)=(cb+da,db-ca)=(ad+bc,bd-ac).
∴α⊙β=β⊙α.
(3)設(shè)A中的元素I=(x,y),由(2)知:
對?α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立,
只需I⊙a(bǔ)=a,即(x,y)⊙(a,b)=(a,b)?(bx+ay,by-ax)=(a,b)
①若a=(0,0),顯然有I⊙α=α成立,
②若a≠(0,0),則
,解得
,
∴當(dāng)對?α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立時,得I=(0,0)或I=(0,1),
易驗證當(dāng)I=(0,0)或I=(0,1)時,有對?α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立
∴I=(0,0)或I=(0,1).
點評:這是一道新運(yùn)算類的題目,其特點一般是“新”而不“難”,處理的方法一般為:根據(jù)新運(yùn)算的定義,將已知中的數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算,易得最終結(jié)果.