Question

（文）已知數列{a_n}滿足a₁=2，前n項和為S_n，an+1=

pan+n-1(n為奇數) -an-2n(n為偶數)

．
（1）若數列{b_n}滿足b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），試求數列{b_n}前3項的和T₃；
（2）若數列{c_n}滿足c_n=a_2n，p=

1

2

，求證：{c_n}是為等比數列；
（3）當p=

1

2

時，對任意n∈N^*，不等式S2n+1≤log

1

2

(x2+3x)都成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），結合  an+1=

pan+n-1(n為奇數) -an-2n(n為偶數)

可得數列{b_n}是一個等差數列，利用求和公式即可求解
（2）當p=

1

2

時，由cn+1=a2n+2=

1

2

p2n+1+2n=

1

2

(-a2n-4n)+2n=-

1

2

cn可證
（3）：由（2）可知，b_n=a_2n+a_2n+1=-4n，所以{b_n}成等差數列，p=

1

2

時a2n=cn=(-

1

2

)n-1，則S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）S_2n+1=a₁+b₁+b₂+…+b_n=-2n²-2n+2（n≥1），結合{S_2n+1}單調性可求最大值，而S2n+1≤log

1

2

(x2+3x)都成立，即S_2n+1最大值≤log

1

2

(x2+3x)，解不等式可求x

解答：解：（1）據題意得b_n=a_2n+a_2n+1=a_2n-a_2n-2×2n=-4n，
所以{b_n}成等差數列，故Tn=

-4-4n

2

•n=-2n（n+1）（4分）
∴T₃=-24
證明：（2）因為cn+1=a2n+2=

1

2

p2n+1+2n=

1

2

(-a2n-4n)+2n=-

1

2

cn
所以

cn+1

cn

=-

1

2

故當p=

1

2

時，數列{c_n}是首項為1，公比為-

1

2

等比數列；
∴Cn=(-

1

2

)n-1
解：（3）b_n=a_2n+a_2n+1=-4n，所以{b_n}成等差數列
∵當p=

1

2

時a2n=cn=(-

1

2

)n-1
因為S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n
=2+（-4-8-12-…-4n）=2-

4+4n

2

•n
=-2n²-2n+2（n≥1）
又S_2n+3-S_2n+1=-4n-4＜0
所以{S_2n+1}單調遞減
當n=1時，S₃最大為-2
所以-2≤log

1

2

(x2+3x)
∴

x2+3x＞0 x2+3x≤4

⇒x∈[-4，-3)∪(0，1]

點評：本題考查的知識點是等比關系的確定，數列的求和，其中熟練掌握等差數列、等比數列的定義，能熟練的判斷一個數列是否為等差（比）數列是解答本題的關鍵．