【題目】如圖,在三棱柱中,
平面
,
,
,
,
分別是
,
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求證:平面平面
;
(Ⅲ)求直線與平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)取的中點(diǎn)
,連接
,
,證明四邊形
為平行四邊形后即可得
,再根據(jù)線面平行的判定即可得證;
(Ⅱ)由等腰三角形的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得、
,則可證
平面
,再根據(jù)面面垂直的判定即可得證;
(Ⅲ)建立空間直角坐標(biāo)系后,表示出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面的一個(gè)法向量為
,
,利用
即可得解.
(Ⅰ)證明:取的中點(diǎn)
,連接
,
,
因?yàn)?/span>是
的中點(diǎn),
所以,且
,
在三棱柱中,
因?yàn)?/span>是
的中點(diǎn),所以
,且
,
所以且
,
所以四邊形為平行四邊形,所以
.
又平面
,
平面
,
所以平面
.
(Ⅱ)證明:因?yàn)?/span>,且
是
的中點(diǎn),所以
,
因?yàn)?/span>平面
,
平面
,
所以,
又 ,
,
平面
,所以
平面
,
又,所以
平面
.
又平面
,
所以平面平面
.
(Ⅲ)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
,
,
,
,
,
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,
則即
,
令,則
.
設(shè)直線與平面
所成角為
,
則.
即直線與平面
所成角的正弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x-lnx,g(x)=x2-ax.
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);
(2)令h(x)=g(x)-f(x),A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2))(x1≠x2)是函數(shù)h(x)圖像上任意兩點(diǎn),且滿足>1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若x∈(0,1],使f(x)≥成立,求實(shí)數(shù)a的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展,很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品,如螞蟻金服旗下的“余額寶”,騰訊旗下的“財(cái)富通”,京東旗下“京東小金庫(kù)”.為了調(diào)查廣大市民理財(cái)產(chǎn)品的選擇情況,隨機(jī)抽取1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民,按照使用理財(cái)產(chǎn)品的情況統(tǒng)計(jì)得到如下頻數(shù)分布表:
分組 | 頻數(shù)(單位:名) |
使用“余額寶” | |
使用“財(cái)富通” | |
使用“京東小金庫(kù)” | 30 |
使用其他理財(cái)產(chǎn)品 | 50 |
合計(jì) | 1200 |
已知這1200名市民中,使用“余額寶”的人比使用“財(cái)富通”的人多160名.
(1)求頻數(shù)分布表中,
的值;
(2)已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為,“財(cái)富通”的平均年化收益率為
.若在1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民中,從使用“余額寶”和使用“財(cái)富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人,然后從這7人中隨機(jī)選取2人,假設(shè)這2人中每個(gè)人理財(cái)?shù)馁Y金有10000元,這2名市民2018年理財(cái)?shù)睦⒖偤蜑?/span>
,求
的分布列及數(shù)學(xué)期望.注:平均年化收益率,也就是我們所熟知的利息,理財(cái)產(chǎn)品“平均年化收益率為
”即將100元錢存入某理財(cái)產(chǎn)品,一年可以獲得3元利息.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球
的球面上,
是面積為
的等邊三角形,
,
,且平面
平面
.
(1)確定的位置(需要說(shuō)明理由),并證明:平面
平面
.
(2)與側(cè)面平行的平面
與棱
,
,
分別交于
,
,
,求四面體
的體積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)
,試判斷
與
的大小關(guān)系并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中記述:羨除,隧道也,其所穿地,上平下邪.如圖所示的五面體是一個(gè)羨除,兩個(gè)梯形側(cè)面
與
相互垂直,
.若
,
,
,梯形
與
的高分別為3和1,則該羨除的體積
( )
A.3B.4C.5D.6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)為
,
,離心率為
,點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),且
的面積最大值為
,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn),
為橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)
為多少時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017·江蘇高考)如圖,在三棱錐ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求證:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線
的的參數(shù)方程為
(其中
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,點(diǎn)
的極坐標(biāo)為
,直線
經(jīng)過點(diǎn)
.曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線的普通方程與曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)過點(diǎn)作直線
的垂線交曲線
于
兩點(diǎn)(
在
軸上方),求
的值.
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