Question

設(shè)x=1是函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的一個(gè)極值點(diǎn)（a＞0）．
（Ⅰ）求a與b的關(guān)系式（用a表示b），并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)m＞0，若f（x）在閉區(qū)間[m，m+1]上的最小值為-3，最大值為0，求m與a的值．

Answer 1

分析：（ I）設(shè)x=1是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，說明f′（1）=0，代入即可得出求a與b的關(guān)系式，再根據(jù)此關(guān)系代入原函數(shù)，得函數(shù)中只含有一個(gè)字母參數(shù)a，討論導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)即可以得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由題意知這個(gè)最值與區(qū)間所在的位置有關(guān)，討論m+1與區(qū)間（1，2）的位置關(guān)系即可．分當(dāng)0＜m＜1時(shí)和當(dāng)m≥1時(shí)兩種情形討論函數(shù)在區(qū)間（1，2）的單調(diào)性，可以分別得出最大值、最小值的關(guān)系式，解出m、a的值，再與大前提比較，可得出符合題意的m與a的值．

解答：解：（ I）f'（x）=3x²+2ax+b…（1分）
由已知有：f'（1）=0，∴3+2a+b=0，∴b=-2a-3…（3分）
從而f'（x）=3(x-1)(x+

2a+3

3

)
令f'（x）=0得：x₁=1，x₂=-

2a+3

3

．∵a＞0∴x₂＜-1
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，x2）	（x2，1）	（1，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	增函數(shù)	減函數(shù)	增函數(shù)

從上表可知：f（x）在(-∞，-

2a+3

3

)，（1，+∞）上是增函數(shù)；
在(-

2a+3

3

，1)，上是減函數(shù)   …（6分）
（ II）∵m＞0，∴m+1＞1．由（ I）知：
①當(dāng)0＜m＜1時(shí)，m+1∈（1，2）．則最小值為f（1）=-3，得：a=1…（8分）
此時(shí)f（x）=x³+x²-5x．從而f（m）=m（m²+m-5）＜0，
∴最大值為f（m+1）=0，得m=

21 -3

2

此時(shí)f（m）=m（m²+m-5）=-2m（m+1）∈（-3，0），適合．…（10分）
②當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在閉區(qū)間[m，m+1]上是增函數(shù)．
∴最小值為f（m）=m（m²+am-2a-3）=-3（1）
最大值為f（m+1）=（m+1）[（m+1）²+a（m+1）-（2a+3）]=0．（2）…（12分）
由（2）得：m²+am-（2a+3）=-2m-1-a…（3）
將（3）代入（1）得：-m（2m+1+a）=-3．即m（2m+1+a）=3
又m≥1，a＞0∴2m+1+a＞3從而m（2m+1+a）＞3
∴此時(shí)的a，m不存在
綜上知：m=

21 -3

2

，a=1．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的最值、函數(shù)的最值與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系等問題，屬于中檔題．解題的關(guān)鍵是寫出函數(shù)的極值和函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處的值，把這些值進(jìn)行比較，得到最大值和最小值．