Question

設(shè)x=1是函數(shù)f（x）=

x+b

x+1

e-ax的一個(gè)極值點(diǎn)（a＞0，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求a與b的關(guān)系式（用a表示b），并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在閉區(qū)間[m，m+1]上的最小值為0，最大值為

1

2

e-a，且m≥0．試求實(shí)數(shù)m與a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，f′（1）=0⇒b=

1-2a

2a+1

，于是f′（x）=

a(x-1)(x+ 2a+3 2a+1 )

(x+1)2

e-ax，令f′（x）=0，列表分析即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）分當(dāng)m≥1與0≤m＜討論，利用f（x）在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性求其最小值（若有），即可求得實(shí)數(shù)m與a的值．

解答：解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（-1，+∞）
f′（x）=

-[ax2+(ab+a)x+ab+b-1]

(x+1)2．

e-ax，
由已知得f′（1）=0，
∴a+（ab+a）+ab+b-1=0，
∴b=

1-2a

2a+1

．
∴f′（x）=

a(x-1)(x+ 2a+3 2a+1 )

(x+1)2

e-ax，
令f′（x）=0，
得x₁=1，x₂=-

2a+3

2a+1

，
∵a＞0，
∴x₂＜-1．當(dāng)x變化時(shí)f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，x2）	（x2，-1）	（-1，1）	（1，+∞）
f'（x）	-	+	+	-
f（x）	減函數(shù)	增函數(shù)	增函數(shù)	減函數(shù)

從上表可知：f（x）在區(qū)間（-∞，-

2a+3

2a+1

）和（1，+∞）上是減函數(shù)；
在區(qū)間（-

2a+3

2a+1

，-1）和（-1，1）上是增函數(shù)．
（2）①當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在閉區(qū)間[m，m+1]上是減函數(shù)．
又x≥1時(shí)，f（x）=

x+b

x+1

e-ax=

x-1+ 2 2a+1

x+1

e-ax＞0，
其最小值不可能為0，故此時(shí)的a，m也不存在．
②當(dāng)0≤m＜時(shí)，m+1∈[1，2），f（x）在（m，1]上是增函數(shù)，在[1，m+1]上是減函數(shù)，
則最大值為f（1）=

1+b

2

e^-a=

1

2

e^-a，故b=0，a=

1

2

．
又f（m+1）＞0，f（x）最小值為f（m）=0，
∴m=-b=0，
綜上可知：m=0，a=

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查綜合分析與運(yùn)算能力，屬于難題．