Question

4．如表是一個由n²個正數組成的數表，用a_ij表示第i行第j個數（i，j∈N），已知數表中第一列各數從上到下依次構成等差數列，每一行各數從左到右依次構成等比數列，且公比都相等．已知a₁₁=1，a₃₁+a₆₁=9，a₃₅=48．
（1）求a_n1和a_4n；
（2）設b_n=$\frac{{{a_{4n}}}}{{（{{a_{4n}}-2}）（{{a_{4n}}-1}）}}$+（-1）ⁿ•a${\;}_{{n}_{1}}$（n∈N₊），求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設第1列依次組成的等差公差為d，設第1行依次組成的等比數列的公比為q，根據題意可以求出d和q，再根據通項公式的定義即可求出；
（2）求出b_n=$\frac{{{a_{4n}}}}{{（{{a_{4n}}-2}）（{{a_{4n}}-1}）}}$_{+（-1）ⁿ•a}${\;}_{{n}_{1}}$_{（n∈N+）=}$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n+1}-2）（{2}^{n+1}-1）}$_{+（-1）ⁿ•n}=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$+（-1）ⁿ•n，根據裂項相消法和分組，討論即可求出前n項和．

解答 解：（1）設第1列依次組成的等差公差為d，
設第1行依次組成的等比數列的公比為q，
根據題意a₃₁+a₆₁=（1+2d）+（1+5d）=9，
∴d=1，
∴a_n1=a₁₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n，
∵a₃₁=a₁₁+2d=3，
∴a₃₅=a₃₁•q⁴=3q⁴=48，
∵q＞0，
∴q=2，
∵a₄₁=4，
∴a_4n=a₄₁q^n-1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹；
（2）由b_n=$\frac{{{a_{4n}}}}{{（{{a_{4n}}-2}）（{{a_{4n}}-1}）}}$+（-1）ⁿ•a${\;}_{{n}_{1}}$（n∈N₊）
=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n+1}-2）（{2}^{n+1}-1）}$+（-1）ⁿ•n
=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$+（-1）ⁿ•n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$+（-1）ⁿ•n，
前n項和S_n=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$+[-1+2-3+4-5+（-1）ⁿ•n]，
當n為偶數時，S_n=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$+$\frac{n}{2}$；
當n為奇數時，S_n=S_n-1+b_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$+$\frac{n-1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-n
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{n+1}{2}$=$\frac{1-n}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

點評 本題考查了數列通項公式的求法和裂項相消法和分組求前n項和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．