Question

己知y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=log_a（x+1）（其中a＞0且a≠1）
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）當x為何值時，f（x）的值的小于0？

Answer 1

分析：（1）由y=f（x）是定義在R上的奇函數，知當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-log_a（-x+1），由此能求出f（x）．
（2）要使f（x）的值的小于0，則當a＞1時，

x＞0 loga(x+1)＜0

或

x＜0 -loga(-x+1)＜0

；當0＜a＜1時，

x＞0 loga(x+1)＜0

或

x＜0 -loga(-x+1)＜0

，由此能求出結果．

解答：解：（1）因為y=f（x）是定義在R上的奇函數，
當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-log_a（-x+1），
所以f（x）=

loga(x+1)，x＞0 0，x=0 -loga(-x+1)，x＜0

，
（2）要使f（x）的值的小于0，則
（i）當a＞1時，

x＞0 loga(x+1)＜0

或

x＜0 -loga(-x+1)＜0

，
解得x＜0，即x∈（-∞，0）；
（ii）當0＜a＜1時，

x＞0 loga(x+1)＜0

或

x＜0 -loga(-x+1)＜0

，
解得x＞0，即x∈（0，+∞）．

點評：本題考查函數的解析式的求法，考查函數值小于0時x的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．