Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定義域和值域均是[1，a]，求實數(shù)a的值；
（2）若對任意的x1 ， x2∈[1，a+1]，總有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=（x﹣a）2+5﹣a2（a＞1），

∴f（x）在[1，a]上是減函數(shù)，又定義域和值域均為[1，a]，

∴ ，

即 ，解得a=2

（2）解：若a≥2，又x=a∈[1，a+1]，且，（a+1）﹣a≤a﹣1

∴f（x）max=f（1）=6﹣2a，f（x）min=f（a）=5﹣a2．

∵對任意的x1，x2∈[1，a+1]，總有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，

∴f（x）max﹣f（x）min≤4，即（6﹣2a）﹣（5﹣a2）≤4，解得﹣1≤a≤3，

又a≥2，∴2≤a≤3．

若1＜a＜2，fmax（x）=f（a+1）=6﹣a2，f（x）min=f（a）=5﹣a2，

f（x）max﹣f（x）min≤4顯然成立，綜上1＜a≤3

【解析】（1）先將函數(shù)進行配方得到對稱軸，判定出函數(shù)f（x）在[1，a]上的單調性，然后根據定義域和值域均為[1，a]建立方程組，解之即可；（2）將a與2進行比較，將條件“對任意的x1 ， x2∈[1，a+1]，總有|f（x1）﹣f（x2）|≤4”轉化成對任意的x1 ， x2∈[1，a+1]，總有f（x）max﹣f（x）min≤4恒成立即可．
【考點精析】利用函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)的值域對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質是相同的．