Question

1．對于函數(shù)f（x）=ax²+2x-2a，若方程f（x）=0有相異的兩根x₁，x₂
（1）若a＞0，且x₁＜1＜x₂，求a的取值范圍；
（2）若x₁-1，x₂-1同號，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a＞0時，根據(jù)二次函數(shù)f（x）的圖象與性質，得出f（1）＜0，求出a的取值范圍即可；
（2）根據(jù)x₁-1，x₂-1同號得出（x₁-1）（x₂-1）＞0，利用根與系數(shù)的關系列出不等式，從而求出a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax²+2x-2a，若方程f（x）=0有相異的兩根x₁，x₂；
（1）當a＞0時，二次函數(shù)f（x）的圖象開口向上，且x₁＜1＜x₂，
∴f（1）=a+2-2a＜0，
解得a＞2，
∴a的取值范圍是a＞2；
（2）若x₁-1，x₂-1同號，則（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1＞0；
又x₁x₂=-2，x₁+x₂=-$\frac{2}{a}$，
∴-2-（$\frac{2}{a}$）+1＞0，
解得0＜a＜2；
又△=4-4a×（-2a）＞0，
解得a∈R；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是0＜a＜2．

點評 本題考查了一元二次方程與對應二次函數(shù)f（x）的圖象與性質的應用問題，也考查了根與系數(shù)的關系應用問題，是綜合性題目．