Question

【題目】對(duì)于函數(shù)，若存在，使成立，則稱(chēng)為的

不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若f（x）的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）－1（2）0＜a＜1（3）

【解析】

試題分析：（1）寫(xiě)出函數(shù)f（x）=x2+3x+1，利用不動(dòng)點(diǎn)定義，列出方程求解即可；（2）f（x）恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，得到ax2+（b+1）x+（b-1）=x，通過(guò)b2-4a（b-1）＞0恒成立，利用判別式得到不等式求解即可；（3）利用定義推出，通過(guò)換元令t=a2∈（0，1），任何求解b的范圍

試題解析：（1），因?yàn)?/span>x0為不動(dòng)點(diǎn)，因此所以x0=－1，

所以－1為f（x）的不動(dòng)點(diǎn). ……………… 4分

（2）因?yàn)?/span>f（x）恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，f（x）=ax2+（b+1）x+（b－1）=x，

ax2+bx+（b－1）=0（※），

由題設(shè)b2－4a（b－1）＞0恒成立，

即對(duì)于任意b∈R，b2－4ab+4a＞0恒成立，

所以（4a）2－4（4a）＜0a2－a＜0，所以0＜a＜1. ………………8分

(3)因?yàn)?/span>，所以，

令，則. ……………… 12分